Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftpht Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftpht 31274
Description: If 𝐺 and 𝐻 are path-homotopic, then their lifts 𝑀 and 𝑁 are also path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftpht.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftpht.m 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.n 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftpht.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftpht.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftpht.g (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
Assertion
Ref Expression
cvmliftpht (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝐻   𝑃,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem cvmliftpht
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftpht.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 cvmliftpht.m . . . 4 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
3 cvmliftpht.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmliftpht.g . . . . . 6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
5 isphtpc 22774 . . . . . 6 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
64, 5sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
76simp1d 1071 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cvmliftpht.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmliftpht.e . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
101, 2, 3, 7, 8, 9cvmliftiota 31257 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑀) = 𝐺 ∧ (𝑀‘0) = 𝑃))
1110simp1d 1071 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (II Cn 𝐶))
12 cvmliftpht.n . . . 4 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
136simp2d 1072 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
14 phtpc01 22777 . . . . . . 7 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
1615simpld 475 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐻‘0))
179, 16eqtrd 2654 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐻‘0))
181, 12, 3, 13, 8, 17cvmliftiota 31257 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑁) = 𝐻 ∧ (𝑁‘0) = 𝑃))
1918simp1d 1071 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (II Cn 𝐶))
206simp3d 1073 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
21 n0 3923 . . . 4 ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
2220, 21sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
233adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
247, 13phtpycn 22763 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2524sselda 3595 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
268adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑃𝐵)
279adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
28 0elunit 12275 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
297adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3013adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
31 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
3229, 30, 31phtpyi 22764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3328, 32mpan2 706 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3433simpld 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (0𝑔0) = (𝐺‘0))
3527, 34eqtr4d 2657 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (0𝑔0))
361, 23, 25, 26, 35cvmlift2 31272 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
37 reurex 3155 . . . . 5 (∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
393ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
408ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑃𝐵)
419ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
427ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4313ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
44 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
45 simprl 793 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
46 simprrl 803 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹) = 𝑔)
47 simprrr 804 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (00) = 𝑃)
481, 2, 12, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47cvmliftphtlem 31273 . . . . 5 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁))
49 ne0i 3913 . . . . 5 ( ∈ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5048, 49syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5138, 50rexlimddv 3031 . . 3 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5222, 51exlimddv 1861 . 2 (𝜑 → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
53 isphtpc 22774 . 2 (𝑀( ≃ph𝐶)𝑁 ↔ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ 𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅))
5411, 19, 52, 53syl3anbrc 1244 1 (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  ∃!wreu 2911  c0 3907   cuni 4427   class class class wbr 4644  ccom 5108  cfv 5876  crio 6595  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922  [,]cicc 12163   Cn ccn 21009   ×t ctx 21344  IIcii 22659  PHtpycphtpy 22748  phcphtpc 22749   CovMap ccvm 31211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-cmp 21171  df-conn 21196  df-lly 21250  df-nlly 21251  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-ii 22661  df-htpy 22750  df-phtpy 22751  df-phtpc 22772  df-pconn 31177  df-sconn 31178  df-cvm 31212
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem1  31275
  Copyright terms: Public domain W3C validator