Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem14 31040
 Description: Lemma for cvmlift 31042. Putting the results of cvmliftlem11 31038, cvmliftlem13 31039 and cvmliftmo 31027 together, we have that 𝐾 is a continuous function, satisfies 𝐹 ∘ 𝐾 = 𝐺 and 𝐾(0) = 𝑃, and is equal to any other function which also has these properties, so it follows that 𝐾 is the unique lift of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem14 (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑓,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑓,𝐾   𝑃,𝑏,𝑓,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑓,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑓,𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑓)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem14
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . 5 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . 5 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . 5 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . 5 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . 5 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . 5 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . 5 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 31038 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = 𝐺))
1514simpld 475 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
1614simprd 479 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem13 31039 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
18 coeq2 5250 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (𝐹𝑓) = (𝐹𝐾))
1918eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → ((𝐹𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐾) = 𝐺))
20 fveq1 6157 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (𝑓‘0) = (𝐾‘0))
2120eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → ((𝑓‘0) = 𝑃 ↔ (𝐾‘0) = 𝑃))
2219, 21anbi12d 746 . . . 4 (𝑓 = 𝐾 → (((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (𝐾‘0) = 𝑃)))
2322rspcev 3299 . . 3 ((𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (𝐾‘0) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
2415, 16, 17, 23syl12anc 1321 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
25 iiuni 22624 . . 3 (0[,]1) = II
26 iiconn 22630 . . . 4 II ∈ Conn
2726a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ Conn)
28 iinllyconn 30997 . . . 4 II ∈ 𝑛-Locally Conn
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ 𝑛-Locally Conn)
30 0elunit 12248 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
322, 25, 4, 27, 29, 31, 5, 6, 7cvmliftmo 31027 . 2 (𝜑 → ∃*𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
33 reu5 3152 . 2 (∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ↔ (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃)))
3424, 32, 33sylanbrc 697 1 (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  ∃!wreu 2910  ∃*wrmo 2911  {crab 2912  Vcvv 3190   ∖ cdif 3557   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155  ⟨cop 4161  ∪ cuni 4409  ∪ ciun 4492   ↦ cmpt 4683   I cid 4994   × cxp 5082  ◡ccnv 5083  ran crn 5085   ↾ cres 5086   “ cima 5087   ∘ ccom 5088  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  ℩crio 6575  (class class class)co 6615   ↦ cmpt2 6617  1st c1st 7126  2nd c2nd 7127  0cc0 9896  1c1 9897   − cmin 10226   / cdiv 10644  ℕcn 10980  (,)cioo 12133  [,]cicc 12136  ...cfz 12284  seqcseq 12757   ↾t crest 16021  topGenctg 16038   Cn ccn 20968  Conncconn 21154  𝑛-Locally cnlly 21208  Homeochmeo 21496  IIcii 22618   CovMap ccvm 30998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-conn 21155  df-lly 21209  df-nlly 21210  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-ii 22620  df-htpy 22709  df-phtpy 22710  df-phtpc 22731  df-pconn 30964  df-sconn 30965  df-cvm 30999 This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  31041
 Copyright terms: Public domain W3C validator