Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2cl 29896
Description: Closure for the decimal fraction constructor if both values are reals. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dp2cl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem dp2cl
StepHypRef Expression
1 df-dp2 29887 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 10re 11709 . . . 4 10 ∈ ℝ
3 10pos 11707 . . . . 5 0 < 10
42, 3gt0ne0ii 10756 . . . 4 10 ≠ 0
5 redivcl 10936 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ ∧ 10 ≠ 0) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
62, 4, 5mp3an23 1565 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
7 readdcl 10211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ)
86, 7sylan2 492 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) ∈ ℝ)
91, 8syl5eqel 2843 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   / cdiv 10876  cdc 11685  cdp2 29886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-dec 11686  df-dp2 29887
This theorem is referenced by:  dpcl  29907  dpmul100  29914  dp3mul10  29915  dpmul1000  29916  dpadd2  29927  dpadd3  29929  dpmul  29930  dpmul4  29931  hgt750lemd  31035  hgt750lem  31038  hgt750lem2  31039  hgt750leme  31045
  Copyright terms: Public domain W3C validator