Theorem lssdimle 31028

Description: The dimension of a linear subspace is less than or equal to the dimension of the parent vector space. This is corollary 5.4 of [Lang] p. 141 (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssdimle.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssdimle	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Proof of Theorem lssdimle

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssdimle.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslvec 19872	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ LVec)
4		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑋) = (LBasis‘𝑋)
5	4	lbsex 19930	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ LVec → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
7		n0 4303	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
8	6, 7	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
9		hashss 13767	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
10	9	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
11	4	dimval 31023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
12	3, 11	sylan 582	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
13	12	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
14		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
15	14	dimval 31023	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
16	15	ad5ant14 756	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
17	10, 13, 16	3brtr4d 5091	. . 3 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
18		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
19		lveclmod 19871	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
23		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
24	23, 4	lbsss 19842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
26		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
27	26, 2	lssss 19701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
28	1, 26	ressbas2 16548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	21, 27, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	25, 29	sseqtrrd 4001	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
31	4	lbslinds 20970	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑋) ⊆ (LIndS‘𝑋)
32	31, 22	sseldi 3958	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋))
33	2, 1	lsslinds 20968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)))
34	33	biimpa 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
35	20, 21, 30, 32, 34	syl31anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
36	14	islinds4 20972	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤))
37	36	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤)
38	18, 35, 37	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤)
39	17, 38	r19.29a 3288	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
40	8, 39	exlimddv 1935	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∃wrex 3138   ⊆ wss 3929  ∅c0 4284   class class class wbr 5059  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   ≤ cle 10669  ♯chash 13687  Basecbs 16476   ↾_s cress 16477  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LBasisclbs 19839  LVecclvec 19867  LIndSclinds 20942  dimcldim 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-reg 9049  ax-inf2 9097  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-rpss 7442  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-tpos 7885  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-oi 8967  df-r1 9186  df-rank 9187  df-dju 9323  df-card 9361  df-acn 9364  df-ac 9535  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-hash 13688  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ocomp 16579  df-0g 16708  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-mri 16852  df-acs 16853  df-proset 17531  df-drs 17532  df-poset 17549  df-ipo 17755  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-submnd 17950  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-subg 18269  df-cmn 18901  df-abl 18902  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19366  df-dvdsr 19384  df-unit 19385  df-invr 19415  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lbs 19840  df-lvec 19868  df-nzr 20024  df-lindf 20943  df-linds 20944  df-dim 31022

This theorem is referenced by:  drngdimgt0  31038