MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngmul0or 18816
Description: A product is zero iff one of its factors is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmuleq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o 0 = (0g𝑅)
drngmuleq0.t · = (.r𝑅)
drngmuleq0.r (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x (𝜑𝑋𝐵)
drngmuleq0.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
drngmul0or (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem drngmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2824 . . . . 5 (𝑋0 ↔ ¬ 𝑋 = 0 )
2 oveq2 6698 . . . . . . . 8 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (((invr𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr𝑅)‘𝑋) · 0 ))
32ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋0 ) → (((invr𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr𝑅)‘𝑋) · 0 ))
4 drngmuleq0.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
54adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
6 drngmuleq0.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋𝐵)
8 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋0 )
9 drngmuleq0.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 drngmuleq0.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
11 drngmuleq0.t . . . . . . . . . . . 12 · = (.r𝑅)
12 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
13 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (invr𝑅) = (invr𝑅)
149, 10, 11, 12, 13drnginvrl 18814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r𝑅))
155, 7, 8, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋0 ) → (((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r𝑅))
1615oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋0 ) → ((((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r𝑅) · 𝑌))
17 drngring 18802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
184, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1918adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
209, 10, 13drnginvrcl 18812 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ((invr𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
215, 7, 8, 20syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋0 ) → ((invr𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22 drngmuleq0.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝐵)
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑌𝐵)
249, 11ringass 18610 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
2519, 21, 7, 23, 24syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋0 ) → ((((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
269, 11, 12ringlidm 18617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
2718, 22, 26syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋0 ) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
2916, 25, 283eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋0 ) → (((invr𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
3029adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋0 ) → (((invr𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
3118adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
3231adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
3321adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋0 ) → ((invr𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
349, 11, 10ringrz 18634 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
3532, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋0 ) → (((invr𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
363, 30, 353eqtr3d 2693 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋0 ) → 𝑌 = 0 )
3736ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋0𝑌 = 0 ))
381, 37syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (¬ 𝑋 = 0𝑌 = 0 ))
3938orrd 392 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))
4039ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
419, 11, 10ringlz 18633 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
4218, 22, 41syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
43 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
4443eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
4542, 44syl5ibrcom 237 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
469, 11, 10ringrz 18634 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
4718, 6, 46syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
48 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
4948eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
5047, 49syl5ibrcom 237 . . 3 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
5145, 50jaod 394 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = 0𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
5240, 51impbid 202 1 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593  invrcinvr 18717  DivRingcdr 18795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797
This theorem is referenced by:  drngmulne0  18817  drngmuleq0  18818
  Copyright terms: Public domain W3C validator