Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh4dimlem 36247
 Description: Lemma for dvh4dimN 36251. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvh4dim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvhdim.z (𝜑𝑍𝑉)
dvh4dim.o 0 = (0g𝑈)
dvh4dim.x (𝜑𝑋0 )
dvh4dimlem.y (𝜑𝑌0 )
dvh4dimlem.z (𝜑𝑍0 )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimlem (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2621 . . 3 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4 eqid 2621 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5 dvh3dim.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dvh3dim.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 dvh3dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 dvh4dim.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
91, 2, 5dvhlmod 35914 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 dvh3dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
11 dvh4dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
12 eldifsn 4292 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
1310, 11, 12sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
146, 7, 8, 4, 9, 13lsatlspsn 33795 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15 dvh4dim.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
16 dvh4dimlem.y . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
17 eldifsn 4292 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝑉𝑌0 ))
1815, 16, 17sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
196, 7, 8, 4, 9, 18lsatlspsn 33795 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20 dvhdim.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
21 dvh4dimlem.z . . . . 5 (𝜑𝑍0 )
22 eldifsn 4292 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍𝑉𝑍0 ))
2320, 21, 22sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
246, 7, 8, 4, 9, 23lsatlspsn 33795 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
251, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24dvh4dimat 36242 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
2693ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
27 simp2 1060 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
286, 7, 4islsati 33796 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑧𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
2926, 27, 28syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
30 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}))
3193ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
32103ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑋𝑉)
33153ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑌𝑉)
346, 7, 3, 31, 32, 33lsmpr 19021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
3534oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
36 prssi 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
3710, 15, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
38373ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
3920snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
40393ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
416, 7, 3lsmsp2 19019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑍} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
4231, 38, 40, 41syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
4335, 42eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
4430, 43sseq12d 3618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
45 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4637, 39unssd 3772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
476, 45, 7lspcl 18908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
489, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
49483ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
50 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑧𝑉)
516, 45, 7, 31, 49, 50lspsnel5 18927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
5244, 51bitr4d 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))))
53 df-tp 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
5453fveq2i 6156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}))
5554eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})))
5652, 55syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5756notbid 308 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5857biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) ∧ 𝑧𝑉) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
59583exp 1261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → (𝑧𝑉 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
6059com24 95 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))))
6160a1d 25 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) → (¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → (𝑧𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))))
62613imp 1254 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (𝑧𝑉 → (𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))))
6362reximdvai 3010 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → (∃𝑧𝑉 𝑝 = (𝑁‘{𝑧}) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
6429, 63mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
6564rexlimdv3a 3027 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (LSAtoms‘𝑈) ¬ 𝑝 ⊆ (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
6625, 65mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   ∖ cdif 3556   ∪ cun 3557   ⊆ wss 3559  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  0gc0g 16032  LSSumclsm 17981  LModclmod 18795  LSubSpclss 18864  LSpanclspn 18903  LSAtomsclsa 33776  HLchlt 34152  LHypclh 34785  DVecHcdvh 35882 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-riotaBAD 33754 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-0g 16034  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-subg 17523  df-cntz 17682  df-lsm 17983  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-drng 18681  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-lvec 19035  df-lsatoms 33778  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961  df-tgrp 35546  df-tendo 35558  df-edring 35560  df-dveca 35806  df-disoa 35833  df-dvech 35883  df-dib 35943  df-dic 35977  df-dih 36033  df-doch 36152  df-djh 36199 This theorem is referenced by:  dvhdimlem  36248  dvh4dimN  36251
 Copyright terms: Public domain W3C validator