Theorem efgsrel 18860

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18856	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1)))))
8	7	simp1bi 1141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9		eldifsn 4719	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10		lennncl 13884	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13130	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
14		nnm1nn0 11939	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
15	8, 11, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘0))
18	17	breq2d 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))))
20	19	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))))
21		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
22		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑖))
23	22	breq2d 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))
24	21, 23	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
25	24	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))))
26		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
27		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
28	27	breq2d 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
29	26, 28	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
30	29	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
31		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
32		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
33	32	breq2d 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
34	31, 33	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
35	34	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))))
36	1, 2	efger 18844	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er 𝑊
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
38		eldifi 4103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
39		wrdf 13867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
40	8, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
41	40	ffvelrnda 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝑊)
42	37, 41	erref 8309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))
43	42	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
44		elnn0uz 12284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
45		peano2fzor 13145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46	44, 45	sylanb 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47	46	3adant1 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
48	47	3expia 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
49	48	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
50	40	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
51	50, 47	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊)
52		fvoveq1 7179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘(𝑎 − 1)) = (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))
53	52	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
54	53	rneqd 5808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
55	27, 54	eleq12d 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) ↔ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
56	7	simp3bi 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
57	56	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
58		nn0p1nn 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
59	58	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
60		nnuz 12282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61	59, 60	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
62		elfzolt2b 13050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
63	62	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
64		elfzo3 13055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹))))
65	61, 63, 64	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
66	55, 57, 65	rspcdva 3625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
67		nn0cn 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
68	67	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ ℂ)
69		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		pncan 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
71	68, 69, 70	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
72	71	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)) = (𝐹‘𝑖))
73	72	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
74	73	rneqd 5808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
75	66, 74	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
76	1, 2, 3, 4	efgi2 18851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
77	51, 75, 76	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
78	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
79	78	ertr 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) ∧ (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
80	77, 79	mpan2d 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
81	80	3expia 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
82	81	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
83	49, 82	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
84	83	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
85	84	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))) → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
86	20, 25, 30, 35, 43, 85	nn0ind 12078	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
87	15, 86	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
88	13, 87	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
89	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 18857	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
90	88, 89	breqtrrd 5094	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142   ∖ cdif 3933  ∅c0 4291  {csn 4567  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575  ∪ ciun 4919   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146   I cid 5459   × cxp 5553  dom cdm 5555  ran crn 5556  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  1_oc1o 8095  2_oc2o 8096   Er wer 8286  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   splice csplice 14111  ⟨“cs2 14203   ~_FG cefg 18832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-ec 8291  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-s2 14210  df-efg 18835

This theorem is referenced by:  efgredeu  18878  efgred2  18879