MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsrel 18063
Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsrel (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝑆𝐹))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsrel
Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18059 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1)))))
87simp1bi 1074 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9 eldifsn 4292 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹 ≠ ∅))
10 lennncl 13259 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹 ≠ ∅) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
119, 10sylbi 207 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
12 fzo0end 12498 . . . 4 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
138, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
14 nnm1nn0 11279 . . . . 5 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
158, 11, 143syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
17 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
1817breq2d 4630 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘0)))
1916, 18imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0))))
2019imbi2d 330 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0)))))
21 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
22 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑖 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑖))
2322breq2d 4630 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹𝑖)))
2421, 23imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))))
2524imbi2d 330 . . . . 5 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)))))
26 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
27 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
2827breq2d 4630 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
2926, 28imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
3029imbi2d 330 . . . . 5 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
31 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
32 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
3332breq2d 4630 . . . . . . 7 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
3431, 33imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
3534imbi2d 330 . . . . 5 (𝑎 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))))
361, 2efger 18047 . . . . . . . 8 Er 𝑊
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → Er 𝑊)
38 eldifi 3715 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
39 wrdf 13244 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑊)
408, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑊)
4140ffvelrnda 6316 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝑊)
4237, 41erref 7708 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘0) (𝐹‘0))
4342ex 450 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0)))
44 elnn0uz 11669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ‘0))
45 peano2fzor 12513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
4644, 45sylanb 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
47463adant1 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
48473expia 1264 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
4948imim1d 82 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))))
50403ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑊)
5150, 47ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹𝑖) ∈ 𝑊)
52 nn0p1nn 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
53523ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
54 nnuz 11667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
5553, 54syl6eleq 2714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘1))
56 elfzolt2b 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(#‘𝐹)))
57563ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(#‘𝐹)))
58 elfzo3 12424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(#‘𝐹))))
5955, 57, 58sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
607simp3bi 1076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
61603ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
62 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑖 + 1) − 1))
6362fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘(𝑎 − 1)) = (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))
6463fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
6564rneqd 5317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
6627, 65eleq12d 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) ↔ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
6766rspcv 3296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
6859, 61, 67sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
69 nn0cn 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℂ)
70693ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑖 ∈ ℂ)
71 ax-1cn 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
72 pncan 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
7370, 71, 72sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
7473fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)) = (𝐹𝑖))
7574fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = (𝑇‘(𝐹𝑖)))
7675rneqd 5317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹𝑖)))
7768, 76eleqtrd 2706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹𝑖)))
781, 2, 3, 4efgi2 18054 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑖) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹𝑖))) → (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7951, 77, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1)))
8036a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → Er 𝑊)
8180ertr 7703 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (((𝐹‘0) (𝐹𝑖) ∧ (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
8279, 81mpan2d 709 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑖) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
83823expia 1264 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑖) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8483a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8549, 84syld 47 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8685expcom 451 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
8786a2d 29 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))) → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
8820, 25, 30, 35, 43, 87nn0ind 11416 . . . 4 (((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
8915, 88mpcom 38 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
9013, 89mpd 15 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
911, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18060 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
9290, 91breqtrrd 4646 1 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝑆𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  {crab 2916  cdif 3557  c0 3896  {csn 4153  cop 4159  cotp 4161   ciun 4490   class class class wbr 4618  cmpt 4678   I cid 4989   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  1𝑜c1o 7499  2𝑜c2o 7500   Er wer 7685  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   splice csplice 13230  ⟨“cs2 13518   ~FG cefg 18035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-ec 7690  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-splice 13238  df-s2 13525  df-efg 18038
This theorem is referenced by:  efgredeu  18081  efgred2  18082
  Copyright terms: Public domain W3C validator