Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsres 18072
 Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsres ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18064 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
87simp1bi 1074 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
109eldifad 3567 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11 1eluzge0 11676 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
12 fzss1 12322 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (1...(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
14 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹)))
1513, 14sseldi 3581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
16 swrd0val 13359 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1710, 15, 16syl2anc 692 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
18 swrdcl 13357 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊)
1910, 18syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊)
2017, 19eqeltrrd 2699 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
21 swrd0len 13360 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
2210, 15, 21syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
23 elfznn 12312 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2522, 24eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ)
26 wrdfin 13262 . . . . . 6 ((𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Fin)
27 hashnncl 13097 . . . . . 6 ((𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Fin → ((#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
2819, 26, 273syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
2925, 28mpbid 222 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
3017, 29eqnetrrd 2858 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
31 eldifsn 4287 . . 3 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
3220, 30, 31sylanbrc 697 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
33 lbfzo0 12448 . . . . 5 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
3424, 33sylibr 224 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
35 fvres 6164 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
377simp2bi 1075 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3837adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3936, 38eqeltrd 2698 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
40 elfzuz3 12281 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
4140adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
42 fzoss2 12437 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(#‘𝐹)))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(#‘𝐹)))
447simp3bi 1076 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
4544adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
46 ssralv 3645 . . . . 5 ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
4743, 45, 46sylc 65 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
48 fzo0ss1 12439 . . . . . . . 8 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
4948sseli 3579 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
50 fvres 6164 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
52 elfzoel2 12410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
53 peano2zm 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
55 uzid 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5652, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5752zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
58 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
59 npcan 10234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6057, 58, 59sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6160fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
6256, 61eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
63 peano2uzr 11687 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
6454, 62, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
65 fzoss2 12437 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
67 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
68 elfzom1b 12508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
6967, 52, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
7069ibi 256 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7166, 70sseldd 3584 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
72 fvres 6164 . . . . . . . . 9 ((𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
7371, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
7473fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7574rneqd 5313 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7651, 75eleq12d 2692 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
7776ralbiia 2973 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7847, 77sylibr 224 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
7917fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
8079, 22eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
8180oveq2d 6620 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
8281raleqdv 3133 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
8378, 82mpbird 247 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
841, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18064 . 2 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
8532, 39, 83, 84syl3anbrc 1244 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {csn 4148  ⟨cop 4154  ⟨cotp 4156  ∪ ciun 4485   ↦ cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075   ↾ cres 5076  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  Fincfn 7899  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   − cmin 10210  ℕcn 10964  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   substr csubstr 13234   splice csplice 13235  ⟨“cs2 13523   ~FG cefg 18040 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-substr 13242 This theorem is referenced by:  efgredlemd  18078  efgredlem  18081
 Copyright terms: Public domain W3C validator