Theorem efgsres 18864

Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsres	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
8	7	simp1bi 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	9	eldifad 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11		fz1ssfz0 13004	. . . . . 6 ⊢ (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
13	11, 12	sseldi 3965	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14		pfxres 14041	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
15	10, 13, 14	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16		pfxcl 14039	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
17	10, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊)
18	15, 17	eqeltrrd 2914	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19		pfxlen 14045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
20	10, 13, 19	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
21		elfznn 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	21	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	20, 22	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ)
24		wrdfin 13882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin)
25		hashnncl 13728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝑁) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
26	17, 24, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅))
27	23, 26	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) ≠ ∅)
28	15, 27	eqnetrrd 3084	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29		eldifsn 4719	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
30	18, 28, 29	sylanbrc 585	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31		lbfzo0 13078	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
32	22, 31	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
33	32	fvresd 6690	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
34	7	simp2bi 1142	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
35	34	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
36	33, 35	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
37		elfzuz3 12906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38	37	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
39		fzoss2 13066	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
41	7	simp3bi 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
42	41	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43		ssralv 4033	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
44	40, 42, 43	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45		fzo0ss1 13068	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
46	45	sseli 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
47	46	fvresd 6690	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48		elfzoel2 13038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		peano2zm 12026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
51		uzid 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
53	48	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
55		npcan 10895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
56	53, 54, 55	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	56	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
58	52, 57	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
59		peano2uzr 12304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
60	50, 58, 59	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
61		fzoss2 13066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
63		elfzo1elm1fzo0 13139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
64	62, 63	sseldd 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
65	64	fvresd 6690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
66	65	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
67	66	rneqd 5808	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
68	47, 67	eleq12d 2907	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
69	68	ralbiia 3164	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
70	44, 69	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
71	15	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
72	71, 20	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
73	72	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
74	73	raleqdv 3415	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
75	70, 74	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
76	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 18856	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
77	30, 36, 75, 76	syl3anbrc 1339	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575  ∪ ciun 4919   ↦ cmpt 5146   I cid 5459   × cxp 5553  dom cdm 5555  ran crn 5556   ↾ cres 5557  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  1_oc1o 8095  2_oc2o 8096  Fincfn 8509  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   prefix cpfx 14032   splice csplice 14111  ⟨“cs2 14203   ~_FG cefg 18832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-substr 14003  df-pfx 14033

This theorem is referenced by:  efgredlemd  18870  efgredlem  18873