MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsdmi 18191
Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdmi ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18190 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
87adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
9 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
10 nnuz 11761 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
119, 10syl6eleq 2740 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1))
12 eluzfz1 12386 . . . . . 6 (((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
141, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18189 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
1514simp1bi 1096 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1716eldifad 3619 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
18 lencl 13356 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
19 nn0z 11438 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
20 fzoval 12510 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
2117, 18, 19, 204syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
2213, 21eleqtrrd 2733 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
23 fzoend 12599 . . . 4 (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
2514simp3bi 1098 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
2625adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
27 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
28 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 − 1) = (((#‘𝐹) − 1) − 1))
2928fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))
3029fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
3130rneqd 5385 . . . . 5 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
3227, 31eleq12d 2724 . . . 4 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
3332rspcv 3336 . . 3 (((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
3424, 26, 33sylc 65 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
358, 34eqeltrd 2730 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  cotp 4218   ciun 4552  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  0cc0 9974  1c1 9975  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   splice csplice 13328  ⟨“cs2 13632   ~FG cefg 18165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331
This theorem is referenced by:  efgs1b  18195  efgredlemg  18201  efgredlemd  18203  efgredlem  18206
  Copyright terms: Public domain W3C validator