MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsdmi 18061
Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdmi ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18060 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
87adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
9 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
10 nnuz 11667 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
119, 10syl6eleq 2714 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1))
12 eluzfz1 12287 . . . . . 6 (((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
141, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18059 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
1514simp1bi 1074 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1716eldifad 3572 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
18 lencl 13258 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
19 nn0z 11345 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
20 fzoval 12409 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
2117, 18, 19, 204syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
2213, 21eleqtrrd 2707 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
23 fzoend 12497 . . . 4 (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
2514simp3bi 1076 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
2625adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
27 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
28 oveq1 6612 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 − 1) = (((#‘𝐹) − 1) − 1))
2928fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))
3029fveq2d 6154 . . . . . 6 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
3130rneqd 5317 . . . . 5 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
3227, 31eleq12d 2698 . . . 4 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
3332rspcv 3296 . . 3 (((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
3424, 26, 33sylc 65 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
358, 34eqeltrd 2704 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  cdif 3557  c0 3896  {csn 4153  cop 4159  cotp 4161   ciun 4490  cmpt 4678   I cid 4989   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  1𝑜c1o 7499  2𝑜c2o 7500  0cc0 9881  1c1 9882  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   splice csplice 13230  ⟨“cs2 13518   ~FG cefg 18035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233
This theorem is referenced by:  efgs1b  18065  efgredlemg  18071  efgredlemd  18073  efgredlem  18076
  Copyright terms: Public domain W3C validator