Theorem ehl2eudisval 24021

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudisval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudis.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudis.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3		ehl2eudis.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4	1, 2, 3	ehl2eudis 24020	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
5	4	oveqi 7162	. 2 ⊢ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))𝐺)
6		eqidd 2821	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))))
7		fveq1 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
8		fveq1 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘1) = (𝐺‘1))
9	7, 8	oveqan12d 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) = ((𝐹‘1) − (𝐺‘1)))
10	9	oveq1d 7164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) = (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))
11		fveq1 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘2) = (𝐹‘2))
12		fveq1 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘2) = (𝐺‘2))
13	11, 12	oveqan12d 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)) = ((𝐹‘2) − (𝐺‘2)))
14	13	oveq1d 7164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) = (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))
15	10, 14	oveq12d 7167	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)) = ((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2)))
16	15	fveq2d 6667	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
17	16	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
18		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑋)
19		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ 𝑋)
20		fvexd 6678	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))) ∈ V)
21	6, 17, 18, 19, 20	ovmpod 7295	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
22	5, 21	syl5eq 2867	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3491  {cpr 4562  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151   ↑_m cmap 8399  ℝcr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   − cmin 10863  2c2 11686  ↑cexp 13426  √csqrt 14587  distcds 16569  𝔼_hilcehl 23982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-tpos 7885  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13427  df-hash 13688  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-cring 19295  df-oppr 19368  df-dvdsr 19386  df-unit 19387  df-invr 19417  df-dvr 19428  df-rnghom 19462  df-drng 19499  df-field 19500  df-subrg 19528  df-staf 19611  df-srng 19612  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-cnfld 20541  df-refld 20744  df-dsmm 20871  df-frlm 20886  df-nm 23187  df-tng 23189  df-tcph 23768  df-rrx 23983  df-ehl 23984

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  44786  2sphere  44810