Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccd 39168
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd
StepHypRef Expression
1 eliccd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliccd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
3 eliccd.5 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 eliccd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 12188 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1243 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9887  cle 10027  [,]cicc 12128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-icc 12132
This theorem is referenced by:  iccshift  39186  iooiinicc  39211  sqrlearg  39222  limciccioolb  39285  cncfiooicclem1  39437  iblspltprt  39522  itgspltprt  39528  itgiccshift  39529  itgperiod  39530  itgsbtaddcnst  39531  fourierdlem15  39672  fourierdlem17  39674  fourierdlem40  39697  fourierdlem50  39706  fourierdlem51  39707  fourierdlem62  39718  fourierdlem63  39719  fourierdlem64  39720  fourierdlem65  39721  fourierdlem73  39729  fourierdlem74  39730  fourierdlem75  39731  fourierdlem76  39732  fourierdlem78  39734  fourierdlem81  39737  fourierdlem82  39738  fourierdlem92  39748  fourierdlem93  39749  fourierdlem101  39757  fourierdlem103  39759  fourierdlem104  39760  fourierdlem107  39763  fourierdlem111  39767  rrxsnicc  39853  salgencntex  39894  hoidmv1lelem2  40139  hoidmvlelem1  40142  hoidmvlelem2  40143  iinhoiicclem  40220  smfmullem1  40331
  Copyright terms: Public domain W3C validator