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Theorem fourierdlem63 39690
Description: The upper bound of intervals in the moved partition are mapped to points that are not greater than the corresponding upper bounds in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem63.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem63.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem63.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem63.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem63.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem63.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem63.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem63.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem63.h 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem63.n 𝑁 = ((#‘𝐻) − 1)
fourierdlem63.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem63.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem63.k (𝜑𝐾 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem63.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem63.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝑆𝐽)[,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem63.eyltqk (𝜑 → (𝐸𝑌) < (𝑄𝐾))
fourierdlem63.x 𝑋 = ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem63 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑘,𝐸,𝑥   𝑓,𝐻   𝑥,𝐻   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑓,𝑁   𝑖,𝑁,𝑚,𝑝   𝑥,𝑁   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓   𝑆,𝑖,𝑘,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥   𝜑,𝑓   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑓,𝑘)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐶(𝑓,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑘)   𝑃(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑓,𝑚)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑓,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐾(𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥,𝑓,𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑂(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑌(𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem63
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem63.e . . . . 5 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
3 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
4 oveq2 6612 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
54oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
65fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
76oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
83, 7oveq12d 6622 . . . . 5 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
98adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
10 fourierdlem63.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝐵𝐴)
11 fourierdlem63.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
12 fourierdlem63.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
13 fourierdlem63.q . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
14 fourierdlem63.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 fourierdlem63.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
16 fourierdlem63.cltd . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 < 𝐷)
17 fourierdlem63.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
18 fourierdlem63.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19 fourierdlem63.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = ((#‘𝐻) − 1)
20 fourierdlem63.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20fourierdlem54 39681 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
2221simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
2322simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
2422simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2517fourierdlem2 39630 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
2723, 26mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
2827simpld 475 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)))
29 elmapi 7823 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
31 fourierdlem63.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
32 fzofzp1 12506 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
3430, 33ffvelrnd 6316 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
3511, 12, 13fourierdlem11 39639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
3635simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3736, 34resubcld 10402 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
3835simp1d 1071 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3936, 38resubcld 10402 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4010, 39syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
4135simp3d 1073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4238, 36posdifd 10558 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
4341, 42mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
4443, 10syl6breqr 4655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
4544gt0ne0d 10536 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
4637, 40, 45redivcld 10797 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
4746flcld 12539 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4847zred 11426 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
4948, 40remulcld 10014 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
5034, 49readdcld 10013 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
512, 9, 34, 50fvmptd 6245 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
5251, 50eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
5311fourierdlem2 39630 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
5412, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
5513, 54mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
5655simpld 475 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
57 elmapi 7823 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
5856, 57syl 17 . . 3 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
59 fourierdlem63.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (0...𝑀))
6058, 59ffvelrnd 6316 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐾) ∈ ℝ)
6114adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6215adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐷 ∈ ℝ)
6338rexrd 10033 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
64 iocssre 12195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
6563, 36, 64syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
6638, 36, 41, 10, 1fourierdlem4 39632 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
67 fourierdlem63.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑆𝐽)[,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
68 elfzofz 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
6931, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
7030, 69ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
7134rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
72 elico2 12179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆𝐽) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ ((𝑆𝐽)[,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝐽) ≤ 𝑌𝑌 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
7370, 71, 72syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 ∈ ((𝑆𝐽)[,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝐽) ≤ 𝑌𝑌 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
7467, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝐽) ≤ 𝑌𝑌 < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
7574simp1d 1071 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
7666, 75ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑌) ∈ (𝐴(,]𝐵))
7765, 76sseldd 3584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸𝑌) ∈ ℝ)
7877, 75resubcld 10402 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) ∈ ℝ)
7960, 78resubcld 10402 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ ℝ)
8079adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ ℝ)
81 icossicc 12202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝐽)[,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑆𝐽)[,](𝑆‘(𝐽 + 1)))
8214rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
8315rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
8417, 24, 23fourierdlem15 39643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
8582, 83, 84, 31fourierdlem8 39636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆𝐽)[,](𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
8681, 85syl5ss 3594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐽)[,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
8786, 67sseldd 3584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶[,]𝐷))
88 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑌𝑌𝐷)))
8914, 15, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑌𝑌𝐷)))
9087, 89mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑌𝑌𝐷))
9190simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝑌)
9260, 77resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝐾) − (𝐸𝑌)) ∈ ℝ)
93 fourierdlem63.eyltqk . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸𝑌) < (𝑄𝐾))
9477, 60posdifd 10558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸𝑌) < (𝑄𝐾) ↔ 0 < ((𝑄𝐾) − (𝐸𝑌))))
9593, 94mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((𝑄𝐾) − (𝐸𝑌)))
9692, 95elrpd 11813 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄𝐾) − (𝐸𝑌)) ∈ ℝ+)
9775, 96ltaddrpd 11849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 < (𝑌 + ((𝑄𝐾) − (𝐸𝑌))))
9860recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝐾) ∈ ℂ)
9977recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸𝑌) ∈ ℂ)
10075recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
10198, 99, 100subsub3d 10366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) = (((𝑄𝐾) + 𝑌) − (𝐸𝑌)))
10298, 100addcomd 10182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝐾) + 𝑌) = (𝑌 + (𝑄𝐾)))
103102oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑄𝐾) + 𝑌) − (𝐸𝑌)) = ((𝑌 + (𝑄𝐾)) − (𝐸𝑌)))
104100, 98, 99addsubassd 10356 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (𝑄𝐾)) − (𝐸𝑌)) = (𝑌 + ((𝑄𝐾) − (𝐸𝑌))))
105101, 103, 1043eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 + ((𝑄𝐾) − (𝐸𝑌))) = ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)))
10697, 105breqtrd 4639 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 < ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)))
10714, 75, 79, 91, 106lelttrd 10139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)))
10814, 79, 107ltled 10129 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≤ ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)))
109108adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐶 ≤ ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)))
11034adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
11160adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑄𝐾) ∈ ℝ)
11252, 34resubcld 10402 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
114111, 113resubcld 10402 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
11574simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
11675, 34, 115ltled 10129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ≤ (𝑆‘(𝐽 + 1)))
11738, 36, 41, 10, 1, 75, 34, 116fourierdlem7 39635 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ ((𝐸𝑌) − 𝑌))
118112, 78, 60, 117lesub2dd 10588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ≤ ((𝑄𝐾) − ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
119118adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ≤ ((𝑄𝐾) − ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
12098adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑄𝐾) ∈ ℂ)
12152recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
123110recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
124120, 122, 123subsubd 10364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) + (𝑆‘(𝐽 + 1))))
12598, 121subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℂ)
12634recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
127125, 126addcomd 10182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) + (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) + (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
129124, 128eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
130 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
13152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
132111, 131sublt0d 10597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) < 0 ↔ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
133130, 132mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) < 0)
134111, 131resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
135 ltaddneg 10195 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) < 0 ↔ ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
136134, 110, 135syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) < 0 ↔ ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
137133, 136mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑄𝐾) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
138129, 137eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
13980, 114, 110, 119, 138lelttrd 10139 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
14084, 33ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
141 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷)))
14214, 15, 141syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷)))
143140, 142mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷))
144143simp3d 1073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷)
145144adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷)
14680, 110, 62, 139, 145ltletrd 10141 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) < 𝐷)
14780, 62, 146ltled 10129 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ≤ 𝐷)
14861, 62, 80, 109, 147eliccd 39134 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
149 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
150 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑌))
151150oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑌) / 𝑇))
152151fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)))
153152oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
154149, 153oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
155154adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
15636, 75resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
157156, 40, 45redivcld 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
158157flcld 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
159158zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
160159, 40remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
16175, 160readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
1622, 155, 75, 161fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
163162oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
164163oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) = (((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) / 𝑇))
165160recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
166100, 165pncan2d 10338 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
167166oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
168159recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℂ)
16940recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
170168, 169, 45divcan4d 10751 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)))
171164, 167, 1703eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)))
172171, 158eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℤ)
17378recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) ∈ ℂ)
174173, 169, 45divcan1d 10746 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇) = ((𝐸𝑌) − 𝑌))
175174oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇)) = (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((𝐸𝑌) − 𝑌)))
17698, 173npcand 10340 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((𝐸𝑌) − 𝑌)) = (𝑄𝐾))
177175, 176eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑄𝐾))
178 ffun 6005 . . . . . . . . . . 11 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → Fun 𝑄)
17958, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝑄)
180 fdm 6008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → dom 𝑄 = (0...𝑀))
18158, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑄 = (0...𝑀))
18259, 181eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ dom 𝑄)
183 fvelrn 6308 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑄𝐾 ∈ dom 𝑄) → (𝑄𝐾) ∈ ran 𝑄)
184179, 182, 183syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐾) ∈ ran 𝑄)
185177, 184eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
186 oveq1 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) → (𝑘 · 𝑇) = ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇))
187186oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) → (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) = (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇)))
188187eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) → ((((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
189188rspcev 3295 . . . . . . . 8 (((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℤ ∧ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + ((((𝐸𝑌) − 𝑌) / 𝑇) · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
190172, 185, 189syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
191190adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
192 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)))
193192eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
194193rexbidv 3045 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
195194elrab 3346 . . . . . 6 (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} ↔ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ (𝐶[,]𝐷) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
196148, 191, 195sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
197 elun2 3759 . . . . 5 (((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
198196, 197syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌)) ∈ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
199 fourierdlem63.x . . . 4 𝑋 = ((𝑄𝐾) − ((𝐸𝑌) − 𝑌))
200198, 199, 183eltr4g 2715 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑋𝐻)
201 elfzelz 12284 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
202201ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑗 ∈ ℤ)
203 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
20431, 203syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
205204ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐽 ∈ ℤ)
206 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
20721simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
208207ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
20969ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
210 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
211 isorel 6530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
212208, 209, 210, 211syl12anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
213206, 212mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
214213adantrr 752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐽 < 𝑗)
215 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
216207ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
217 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
21833ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
219 isorel 6530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
220216, 217, 218, 219syl12anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
221215, 220mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
222221adantrl 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
223 btwnnz 11397 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
224205, 214, 222, 223syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
225202, 224pm2.65da 599 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ¬ ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
226225adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ¬ ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
22770ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
22875ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
22930ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆𝑗) ∈ ℝ)
230229adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝑗) ∈ ℝ)
23174simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐽) ≤ 𝑌)
232231ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝐽) ≤ 𝑌)
233106, 199syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 < 𝑋)
234233adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → 𝑌 < 𝑋)
235 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (𝑆𝑗) ↔ (𝑆𝑗) = 𝑋)
236235biimpri 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑗) = 𝑋𝑋 = (𝑆𝑗))
237236adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑆𝑗))
238234, 237breqtrd 4639 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → 𝑌 < (𝑆𝑗))
239238adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → 𝑌 < (𝑆𝑗))
240227, 228, 230, 232, 239lelttrd 10139 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
241240adantllr 754 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
242 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝑗) = 𝑋)
243199, 139syl5eqbr 4648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑋 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
244243adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → 𝑋 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
245242, 244eqbrtrd 4635 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
246245adantlr 750 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
247241, 246jca 554 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑆𝑗) = 𝑋) → ((𝑆𝐽) < (𝑆𝑗) ∧ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
248226, 247mtand 690 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑆𝑗) = 𝑋)
249248nrexdv 2995 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑆𝑗) = 𝑋)
250 isof1o 6527 . . . . . . . . 9 (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝐻)
251207, 250syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝐻)
252 f1ofo 6101 . . . . . . . 8 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝐻𝑆:(0...𝑁)–onto𝐻)
253251, 252syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:(0...𝑁)–onto𝐻)
254 foelrn 6334 . . . . . . 7 ((𝑆:(0...𝑁)–onto𝐻𝑋𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑋 = (𝑆𝑗))
255253, 254sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑋 = (𝑆𝑗))
256235rexbii 3034 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑋 = (𝑆𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑆𝑗) = 𝑋)
257255, 256sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑆𝑗) = 𝑋)
258257adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑋𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑆𝑗) = 𝑋)
259249, 258mtand 690 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ¬ 𝑋𝐻)
260200, 259pm2.65da 599 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑄𝐾) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
26152, 60, 260nltled 10131 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  cun 3553  wss 3555  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cio 5808  Fun wfun 5841  wf 5843  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847   Isom wiso 5848  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  cz 11321  (,]cioc 12118  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  cfl 12531  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-cmp 21100
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  39706
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