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Theorem fourierdlem62 40906
Description: The function 𝐾 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem62.k 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem62 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)

Proof of Theorem fourierdlem62
Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem62.k . . . 4 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
2 eqeq1 2764 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑠𝑦 = 𝑠)
4 oveq1 6821 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
54fveq2d 6357 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
65oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
73, 6oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
82, 7ifbieq2d 4255 . . . . 5 (𝑦 = 𝑠 → if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
98cbvmptv 4902 . . . 4 (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
101, 9eqtri 2782 . . 3 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
1110fourierdlem43 40888 . 2 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
12 ax-resscn 10205 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
13 fss 6217 . . . . . 6 ((𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
1411, 12, 13mp2an 710 . . . . 5 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
16 difss 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π)
17 elioore 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
1817ssriv 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π(,)π) ⊆ ℝ
1916, 18sstri 3753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
21 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
2219sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
2321, 22fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
25 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
26 2re 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
2822rehalfcld 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2928resincld 15092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
3027, 29remulcld 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
3125, 30fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
33 iooretop 22790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
35 0re 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
36 negpilt0 40009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -π < 0
37 pipos 24432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < π
38 pire 24430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ
3938renegcli 10554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -π ∈ ℝ
4039rexri 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -π ∈ ℝ*
4138rexri 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℝ*
42 elioo2 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π)))
4340, 41, 42mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π))
4435, 36, 37, 43mpbir3an 1427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (-π(,)π)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ (-π(,)π))
46 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π(,)π) ∖ {0}) = ((-π(,)π) ∖ {0})
47 1ex 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ V
48 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
4947, 48dmmpti 6184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = ((-π(,)π) ∖ {0})
50 reelprrecn 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5212sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5352adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
54 1red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5551dvmptid 23939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
56 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5756tgioo2 22827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
58 sncldre 39725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ ℝ → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
5935, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
60 retopon 22788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
6160toponunii 20943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ = (topGen‘ran (,))
6261difopn 21060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6333, 59, 62mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6551, 53, 54, 55, 20, 57, 56, 64dvmptres 23945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
6665trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
6766eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
6867dmeqi 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
6949, 68eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
7069eqimssi 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)))
72 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ V
73 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
7472, 73dmmpti 6184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = ((-π(,)π) ∖ {0})
75 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
7653halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
7776sincld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
7875, 77mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
7976coscld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
80 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
81 2ne0 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 ≠ 0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
8352, 80, 82divrec2d 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) = ((1 / 2) · 𝑥))
8483fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))
8584oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
8685mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
8786oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
88 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
8912, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
9089eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
9190oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ))
92 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
93 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
94 halfcn 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1 / 2) ∈ ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9795, 96mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑥) ∈ ℂ)
9897sincld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
9993, 98mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
10092, 99fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ
101 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
102 2cn 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 ∈ ℂ
103102, 94mulcli 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
10597coscld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
106104, 105mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
108101, 107dmmptd 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⊤ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ)
109108trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ
11012, 109sseqtr4i 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ ⊆ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
111 dvasinbx 40656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
112102, 94, 111mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
113112dmeqi 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
114110, 113sseqtr4i 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
115 dvcnre 40651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))) → (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ))
116100, 114, 115mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ)
117112reseq1i 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
118 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
11912, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
120102, 81recidi 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · (1 / 2)) = 1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (1 / 2)) = 1)
12283eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑥) = (𝑥 / 2))
123122fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) = (cos‘(𝑥 / 2)))
124121, 123oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑥 / 2))))
12552halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
126125coscld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
127126mulid2d 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · (cos‘(𝑥 / 2))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
128124, 127eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
129128mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
130117, 119, 1293eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
13191, 116, 1303eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
13287, 131eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
13451, 78, 79, 133, 20, 57, 56, 64dvmptres 23945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
135134trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
136135eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
137136dmeqi 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
13874, 137eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
139138eqimssi 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))))
14117recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℂ)
142141ssriv 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ ℂ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (-π(,)π) ⊆ ℂ)
144 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℂ ⊆ ℂ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
146143, 145idcncfg 40606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
147146trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
148 cnlimc 23871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦))))
149142, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦)))
150147, 149mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦))
151150simpri 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦)
152 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0))
153 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0))
154152, 153eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0)))
155154rspccva 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0))
156151, 44, 155mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0)
157 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
158 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)
159 c0ex 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ V
160157, 158, 159fvmpt 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0)
16144, 160ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0
162 elioore 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
163162recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
164158, 163fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ)
166165limcdif 23859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
167166trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
168 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
16916, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
170169oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
171167, 170eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
172156, 161, 1713eltr3i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0))
174 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2)
175144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
176 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
177175, 176, 175constcncfg 40605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
178102, 177mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
179 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 2 ∈ ℂ)
180174, 178, 143, 145, 179cncfmptssg 40604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 2) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
181 sincn 24417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
183 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2))
184183divccncf 22930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185102, 81, 184mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
187163adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
188187halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
189183, 186, 143, 145, 188cncfmptssg 40604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
190182, 189cncfmpt1f 22937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
191180, 190mulcncf 23435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
192191trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
193 cnlimc 23871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦))))
194142, 193ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦)))
195192, 194mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦))
196195simpri 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦)
197 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0))
198 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
199197, 198eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)))
200199rspccva 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
201196, 44, 200mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
202 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = (0 / 2))
203102, 81div0i 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 / 2) = 0
204202, 203syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = 0)
205204fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘0))
206 sin0 15098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (sin‘0) = 0
207205, 206syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = 0)
208207oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · 0))
209 2t0e0 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 0) = 0
210208, 209syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = 0)
211 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
212210, 211, 159fvmpt 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0)
21344, 212ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0
214 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 2 ∈ ℂ)
215163halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
216215sincld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
217214, 216mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
218211, 217fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ)
220219limcdif 23859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
221220trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
222 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
22316, 222ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
224223oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
225221, 224eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
226201, 213, 2253eltr3i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
228 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
229 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
230229fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
231230oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
232231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
233 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
23426a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
23519sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
236235rehalfcld 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
237236resincld 15092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
238234, 237remulcld 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
239228, 232, 233, 238fvmptd 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
240 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
241237recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
24281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
243 ioossicc 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
244 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π(,)π))
245243, 244sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π[,]π))
246 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
247 fourierdlem44 40889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
248245, 246, 247syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
249240, 241, 242, 248mulne0d 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
250239, 249eqnetrd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ≠ 0)
251250neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
252251nrex 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0
25325fnmpt 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})(2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}))
254253, 30mprg 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
255 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})
256 fvelimab 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0))
257254, 255, 256mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
258252, 257mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
260 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
261229fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
262261adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
263235recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
264263halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
265264coscld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
266260, 262, 233, 265fvmptd 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = (cos‘(𝑦 / 2)))
267236rered 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
268 halfpire 24436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π / 2) ∈ ℝ
269268renegcli 10554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -(π / 2) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
271270rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
272268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
273272rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
274 picn 24431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 π ∈ ℂ
275 divneg 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
276274, 102, 81, 275mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -(π / 2) = (-π / 2)
27739a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
278 2rp 12050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
279278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
28040a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
28141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
282 ioogtlb 40238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑦 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑦)
283280, 281, 244, 282syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑦)
284277, 235, 279, 283ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑦 / 2))
285276, 284syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑦 / 2))
28638a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
287 iooltub 40256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑦 ∈ (-π(,)π)) → 𝑦 < π)
288280, 281, 244, 287syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 < π)
289235, 286, 279, 288ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) < (π / 2))
290271, 273, 236, 285, 289eliood 40241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
291267, 290eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
292 cosne0 24496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
293264, 291, 292syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
294266, 293eqnetrd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) ≠ 0)
295294neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
296295nrex 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0
29772, 73fnmpti 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
298 fvelimab 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0))
299297, 255, 298mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
300296, 299mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
301135imaeq1i 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
302301eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
303300, 302mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
304303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
305 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
306 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2))))
30719sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
308307recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
309308halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
310309coscld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
311307rehalfcld 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
312311rered 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) = (𝑠 / 2))
313269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
314313rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
315268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
316315rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
31738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
318317renegcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
319278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
32040a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
32141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
322 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π(,)π))
323 ioogtlb 40238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑠)
324320, 321, 322, 323syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑠)
325318, 307, 319, 324ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑠 / 2))
326276, 325syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑠 / 2))
327 iooltub 40256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 < π)
328320, 321, 322, 327syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 < π)
329307, 317, 319, 328ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) < (π / 2))
330314, 316, 311, 326, 329eliood 40241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
331312, 330eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
332 cosne0 24496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑠 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
333309, 331, 332syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
334333neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0)
335311recoscld 15093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
336 elsng 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
337335, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
338334, 337mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
339310, 338eldifd 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
340339adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
341309ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) ≠ 0)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
342 cosf 15074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 cos:ℂ⟶ℂ
343342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
344343ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
345 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2))
346345divccncf 22930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
347102, 81, 346mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
349141adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
350349halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351345, 348, 143, 145, 350cncfmptssg 40604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
352 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
353352, 203syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
354351, 45, 353cnmptlimc 23873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0))
355 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2))
356141halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
357355, 356fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ
358357a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ)
359358limcdif 23859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
360359trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
361 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)))
36216, 361ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2))
363362oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0)
364360, 363eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0)
365354, 364syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0))
366 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
367342, 366ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cos Fn ℂ
368 dffn5 6404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
369367, 368mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
370 coscn 24418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
371369, 370eqeltrri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
373 0cnd 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
374 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = (cos‘0))
375 cos0 15099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (cos‘0) = 1
376374, 375syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = 1)
377372, 373, 376cnmptlimc 23873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) lim 0))
378 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
379 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = (cos‘0))
380379, 375syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
381380ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) = 0)) → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
382341, 344, 365, 377, 378, 381limcco 23876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) lim 0))
383 ax-1ne0 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
384383a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ≠ 0)
385305, 306, 340, 382, 384reclimc 40406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (1 / 1) ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) lim 0))
386 1div1e1 10929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 1) = 1
38766fveq1i 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠)
388 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
389 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 1 = 1)
390 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
391 1red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 ∈ ℝ)
392388, 389, 390, 391fvmptd 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
393387, 392syl5req 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠))
394135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
395 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
396395fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑠 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
397396adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
398394, 397, 390, 335fvmptd 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠) = (cos‘(𝑠 / 2)))
399398eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))
400393, 399oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (1 / (cos‘(𝑠 / 2))) = (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
401400mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
402401oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) lim 0)
403385, 386, 4023eltr3g 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) lim 0))
40420, 24, 32, 34, 45, 46, 71, 140, 173, 227, 259, 304, 403lhop 23998 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0))
405404trud 1642 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0)
406 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
407 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑠)
408406, 407, 390, 307fvmptd 6451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) = 𝑠)
409 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
410407oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
411410fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
412411oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
41326a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
414311resincld 15092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
415413, 414remulcld 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
416409, 412, 390, 415fvmptd 6451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
417408, 416oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
418417mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419418oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
420405, 419eleqtri 2837 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
42110oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
42210feq1i 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
42314, 422mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ
424423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
425243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
426 iccssre 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
42739, 38, 426mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π[,]π) ⊆ ℝ
428427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
429428, 12syl6ss 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
430 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))
43139, 35, 36ltleii 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 -π ≤ 0
43235, 38, 37ltleii 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≤ π
43339, 38elicc2i 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
43435, 431, 432, 433mpbir3an 1427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ (-π[,]π)
435159snss 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ {0} ⊆ (-π[,]π))
436434, 435mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 {0} ⊆ (-π[,]π)
437 ssequn2 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({0} ⊆ (-π[,]π) ↔ ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π))
438436, 437mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π)
439438oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
440 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
44156, 440tgiooss 40254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
442427, 441ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
443439, 442eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
444443fveq2i 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))) = (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
445159snss 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ (-π(,)π) ↔ {0} ⊆ (-π(,)π))
44644, 445mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {0} ⊆ (-π(,)π)
447 ssequn2 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({0} ⊆ (-π(,)π) ↔ ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π))
448446, 447mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π)
449444, 448fveq12i 6358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})) = ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π))
450 resttopon 21187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)))
45160, 427, 450mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π))
452451topontopi 20942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top
453 retop 22786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
454 ovex 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,]π) ∈ V
455453, 454pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V)
456 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π)
45733, 243, 4563pm3.2i 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))
458 restopnb 21201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V) ∧ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))) → ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))))
459455, 457, 458mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
46033, 459mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
461 isopn3i 21108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π))
462452, 460, 461mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π)
463 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π(,)π) = (-π(,)π)
464449, 462, 4633eqtrri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π(,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
46544, 464eleqtri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
466465a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})))
467424, 425, 429, 56, 430, 466limcres 23869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0))
468467trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
469468eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0)
470 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
471243, 470ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
472471oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
473421, 469, 4723eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
474 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
475 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = 1)
476 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → 1 ∈ ℂ)
477475, 476eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
478477adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
479 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
480479adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
481141adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
482 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
483481halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
484483sincld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
485482, 484mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
48681a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
487243sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
488 neqne 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
489 fourierdlem44 40889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
490487, 488, 489syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
491482, 484, 486, 490mulne0d 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
492481, 485, 491divcld 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
493480, 492eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
494478, 493pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
495474, 494fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ)
497496limcdif 23859 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
498497trud 1642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
499 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
50016, 499ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
501 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
502 velsn 4337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
503501, 502sylnib 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
504503, 479syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
505504mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
506500, 505eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
507506oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
508473, 498, 5073eqtrri 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0) = (𝐾 lim 0)
509420, 508eleqtri 2837 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (𝐾 lim 0)
510509a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → 1 ∈ (𝐾 lim 0))
511 fveq2 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) = (𝐾‘0))
512475, 10, 47fvmpt 6445 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (-π[,]π) → (𝐾‘0) = 1)
513434, 512ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐾‘0) = 1
514511, 513syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) = 1)
515 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (𝐾 lim 𝑠) = (𝐾 lim 0))
516510, 514, 5153eltr4d 2854 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))
517427, 12sstri 3753 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ⊆ ℂ
518517a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
51938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → π ∈ ℝ)
520519renegcld 10669 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → -π ∈ ℝ)
521 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → 𝑠 = 0)
52235a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → 0 ∈ ℝ)
523521, 522eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ ℝ)
524431, 521syl5breqr 4842 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → -π ≤ 𝑠)
525521, 432syl6eqbr 4843 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 𝑠 ≤ π)
526520, 519, 523, 524, 525eliccd 40247 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
52757oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π))
52856cnfldtop 22808 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
529 reex 10239 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
530 restabs 21191 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)))
531528, 427, 529, 530mp3an 1573 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
532527, 531eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
53356, 532cnplimc 23870 . . . . . . . . . 10 (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))))
534518, 526, 533syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))))
53515, 516, 534mpbir2and 995 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
536535adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
537 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
538502notbii 309 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ {0} ↔ ¬ 𝑠 = 0)
539538biimpri 218 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 = 0 → ¬ 𝑠 ∈ {0})
540539adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
541537, 540eldifd 3726 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
542 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
543542eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
544429ssdifssd 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ)
545544, 145idcncfg 40606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 𝑠) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
546 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
547 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
548 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
549517, 548sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
550549halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
551550sincld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
552547, 551mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
55381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
554 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
555548, 554, 489syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
556547, 551, 553, 555mulne0d 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
557556neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
558 elsng 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
559552, 558syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
560557, 559mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
561552, 560eldifd 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
562546, 561fmpti 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})
563 difss 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
564 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2)
565175, 176, 175constcncfg 40605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
566102, 565mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
567 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → 2 ∈ ℂ)
568564, 566, 544, 145, 567cncfmptssg 40604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 2) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
569549, 547, 553divrecd 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) = (𝑠 · (1 / 2)))
570569mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2)))
571 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2))
572144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
573 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
574572, 573, 572constcncfg 40605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
57594, 574mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
57694a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
577571, 575, 544, 145, 576cncfmptssg 40604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (1 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
578545, 577mulcncf 23435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
579570, 578syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
580182, 579cncfmpt1f 22937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
581568, 580mulcncf 23435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
582581trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
583 cncffvrn 22922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})))
584563, 582, 583mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0}))
585562, 584mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0}))
586585a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})))
587545, 586divcncf 23436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
588587trud 1642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
589428ssdifssd 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
590589trud 1642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
591590, 12sstri 3753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ
59257oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
593 restabs 21191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
594528, 590, 529, 593mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
595592, 594eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
596 unicntop 22810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
597596restid 16316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
598528, 597ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
599598eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
60056, 595, 599cncfcn 22933 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
601591, 144, 600mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
602588, 601eleqtri 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
603 resttopon 21187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})))
60460, 590, 603mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0}))
60556cnfldtopon 22807 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
606 cncnp 21306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
607604, 605, 606mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
608602, 607mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
609608simpri 481 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)
610543, 609vtoclri 3423 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
611541, 610syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
61210reseq1i 5547 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0}))
613 difss 3880 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
614 resmpt 5607 . . . . . . . . . . 11 (((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615613, 614ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
616 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
617616, 502sylnib 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
618617, 479syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
619618mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620612, 615, 6193eqtri 2786 . . . . . . . . 9 (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
621 restabs 21191 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π[,]π) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
622453, 613, 454, 621mp3an 1573 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
623622oveq1i 6824 . . . . . . . . . 10 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))
624623fveq1i 6354 . . . . . . . . 9 (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
625611, 620, 6243eltr4g 2856 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
626452, 613pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π))
627626a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)))
628 ssdif 3888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
629427, 628ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0})
630629, 541sseldi 3742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}))
631 sscon 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({0} ⊆ (-π[,]π) → (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
632436, 631ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0})
633629, 632unssi 3931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) ⊆ (ℝ ∖ {0})
634 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
635 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
636635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
637634, 636eldifd 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
638 elun1 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
639637, 638syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
640 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
641640adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
642 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π))
643641, 642eldifd 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
644 elun2 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
645643, 644syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
646639, 645pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
647646ssriv 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ∖ {0}) ⊆ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
648633, 647eqssi 3760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) = (ℝ ∖ {0})
649648fveq2i 6356 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0}))
65061cldopn 21057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
65159, 650ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
652 isopn3i 21108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0}))
653453, 651, 652mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0})
654649, 653eqtri 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = (ℝ ∖ {0})
655630, 654syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))))
656655, 537elind 3941 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
657 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
65861, 657restntr 21208 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
659453, 427, 613, 658mp3an 1573 . . . . . . . . . 10 ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π))
660656, 659syl6eleqr 2850 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})))
66114a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
662451toponunii 20943 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
663662, 596cnprest 21315 . . . . . . . . 9 (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) ∧ (𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
664627, 660, 661, 663syl12anc 1475 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
665625, 664mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
666536, 665pm2.61dan 867 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
667666rgen 3060 . . . . 5 𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
668 cncnp 21306 . . . . . 6 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
669451, 605, 668mp2an 710 . . . . 5 (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
67014, 667, 669mpbir2an 993 . . . 4 𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
67156, 532, 599cncfcn 22933 . . . . . 6 (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
672517, 144, 671mp2an 710 . . . . 5 ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
673672eqcomi 2769 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((-π[,]π)–cn→ℂ)
674670, 673eleqtri 2837 . . 3 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
675 cncffvrn 22922 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)) → (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ))
67612, 674, 675mp2an 710 . 2 (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
67711, 676mpbir 221 1 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  +crp 12045  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  cre 14056  sincsin 15013  cosccos 15014  πcpi 15016  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  topGenctg 16320  fldccnfld 19968  Topctop 20920  TopOnctopon 20937  Clsdccld 21042  intcnt 21043   Cn ccn 21250   CnP ccnp 21251  cnccncf 22900   lim climc 23845   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-t1 21340  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  fourierdlem77  40921  fourierdlem78  40922  fourierdlem85  40929  fourierdlem88  40932
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