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Theorem fourierdlem81 39732
 Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by its period 𝑇. In this lemma, 𝑇 is assumed to be strictly positive. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem81.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem81.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem81.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem81.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem81.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
fourierdlem81.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem81.fper ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem81.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇))
fourierdlem81.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem81.cncf ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem81.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem81.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem81.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
fourierdlem81.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem81 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑆,𝑖,𝑥   𝑇,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem81
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem81.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem81.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem81.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 39654 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 475 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
109eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
118simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
1211eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
1310, 12oveq12d 6628 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
1413itgeq1d 39500 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥)
15 0zd 11340 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16 nnuz 11674 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
17 0p1e1 11083 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1817fveq2i 6156 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
1916, 18eqtr4i 2646 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
202, 19syl6eleq 2708 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
216simpld 475 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
22 reex 9978 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24 ovex 6638 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ V)
2623, 25elmapd 7823 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ))
2721, 26mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
287simprd 479 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
2928r19.21bi 2927 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
30 fourierdlem81.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3130adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
32 fourierdlem81.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
339, 32eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
34 fourierdlem81.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3511, 34eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
3633, 35iccssred 39161 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ⊆ ℝ)
3736sselda 3587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3831, 37ffvelrnd 6321 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3927adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
40 elfzofz 12433 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4140adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4239, 41ffvelrnd 6321 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
43 fzofzp1 12513 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4443adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4539, 44ffvelrnd 6321 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
4630feqmptd 6211 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4746reseq1d 5360 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
4847adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
49 ioossre 12184 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
5150resmptd 5416 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
5248, 51eqtr2d 2656 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
53 fourierdlem81.cncf . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
54 fourierdlem81.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
55 fourierdlem81.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
5642, 45, 53, 54, 55iblcncfioo 39522 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
5752, 56eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5830ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
5942, 45iccssred 39161 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
6059sselda 3587 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6158, 60ffvelrnd 6321 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6242, 45, 57, 61ibliooicc 39515 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
6315, 20, 27, 29, 38, 62itgspltprt 39523 . 2 (𝜑 → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
64 fourierdlem81.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇)))
66 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
6766oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
6867adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
692nnnn0d 11302 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
70 nn0uz 11673 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
7169, 70syl6eleq 2708 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
72 eluzfz1 12297 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
74 fourierdlem81.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7574rpred 11823 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7633, 75readdcld 10020 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄‘0) + 𝑇) ∈ ℝ)
7765, 68, 73, 76fvmptd 6250 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘0) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
789oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄‘0) + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
7977, 78eqtr2d 2656 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = (𝑆‘0))
80 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
8180oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
8281adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 𝑀) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
83 eluzfz2 12298 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8471, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
8535, 75readdcld 10020 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑀) + 𝑇) ∈ ℝ)
8665, 82, 84, 85fvmptd 6250 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑀) = ((𝑄𝑀) + 𝑇))
8711oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄𝑀) + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
8886, 87eqtr2d 2656 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) = (𝑆𝑀))
8979, 88oveq12d 6628 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)))
9089itgeq1d 39500 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥)
9127ffvelrnda 6320 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9275adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 10020 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
9493, 64fmptd 6346 . . . 4 (𝜑𝑆:(0...𝑀)⟶ℝ)
9575adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ)
9642, 45, 95, 29ltadd1dd 10589 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
9740, 93sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
9864fvmpt2 6253 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
9941, 97, 98syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
100 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
101100oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = ((𝑄𝑗) + 𝑇))
102101cbvmptv 4715 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇))
10364, 102eqtri 2643 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇))
104103a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) + 𝑇)))
105 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
106105oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑄𝑗) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
107106adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑄𝑗) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
10845, 95readdcld 10020 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
109104, 107, 44, 108fvmptd 6250 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
11096, 99, 1093brtr4d 4650 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
11130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11277, 76eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘0) ∈ ℝ)
113112adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝑆‘0) ∈ ℝ)
11486, 85eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑀) ∈ ℝ)
115114adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝑆𝑀) ∈ ℝ)
116113, 115iccssred 39161 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)) ⊆ ℝ)
117 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀)))
118116, 117sseldd 3588 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → 𝑥 ∈ ℝ)
119111, 118ffvelrnd 6321 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
12099, 97eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
121109, 108eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
122 ioosscn 39150 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
123122a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
124 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
125124rexbidv 3046 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
126 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
127126eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
128127cbvrexv 3163 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
129125, 128syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
130129cbvrabv 3188 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
131 fdm 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
13230, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
133132feq2d 5993 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
13430, 133mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
135134adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
136 elioore 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
137136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
13875adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
140139adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
1411403adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
142 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 = (𝑧 + 𝑇))
1431323ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → dom 𝐹 = ℝ)
1441433adant1r 1316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → dom 𝐹 = ℝ)
145141, 142, 1443eltr4d 2713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
1461453exp 1261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)))
147146adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)))
148147rexlimdv 3024 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
149148ralrimiva 2961 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
150 rabss 3663 . . . . . . . . 9 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ dom 𝐹))
151149, 150sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹)
152 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
15332rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
154153ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15534rexrd 10040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
156155ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1573, 2, 1fourierdlem15 39667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
158157ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
159 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
160 ioossicc 12208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
161160sseli 3583 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
162161adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
163154, 156, 158, 159, 162fourierdlem1 39653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
164 fourierdlem81.fper . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
165152, 163, 164syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
166123, 95, 130, 135, 151, 165, 53cncfperiod 39418 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
167125elrab 3350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
168167simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
169 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
170 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171 nfre1 3000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
172170, 171nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
173 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
174 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
1751393adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
176174, 175eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1771763adant1r 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17842adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
179136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
18075ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
181 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
18242rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
183182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
18445rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
185184adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
186 elioo2 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
187183, 185, 186syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
188181, 187mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) < 𝑧𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
189188simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑧)
190178, 179, 180, 189ltadd1dd 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
1911903adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
192993ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
193 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
194191, 192, 1933brtr4d 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
19545adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
196188simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
197179, 195, 180, 196ltadd1dd 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑧 + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1981973adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
1991093ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
200198, 193, 1993brtr4d 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
201177, 194, 2003jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
2022013exp 1261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
203202adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
204172, 173, 203rexlimd 3020 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
205169, 204mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
206120rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
207206adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
208121rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
209208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
210 elioo2 12165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
211207, 209, 210syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
212205, 211mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
213168, 212sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
214 elioore 12154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
215214recnd 10019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
216215adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
217182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
218184adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
219214adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
22075adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
221219, 220resubcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
222221adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
22399oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
22442recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
22595recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
226224, 225pncand 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
227223, 226eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
228227adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
229120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
230214adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
23175ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
232 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
233206adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
234208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
235233, 234, 210syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
236232, 235mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑖) < 𝑥𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1))))
237236simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
238229, 230, 231, 237ltsub1dd 10590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) < (𝑥𝑇))
239228, 238eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
240121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
241236simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
242230, 240, 231, 241ltsub1dd 10590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) < ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
243109oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇))
24445recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
245244, 225pncand 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
246243, 245eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
247246adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
248242, 247breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
249217, 218, 222, 239, 248eliood 39154 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
250219recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
251220recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
252250, 251npcand 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
253252eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
254253adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
255 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
256255eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)))
257256rspcev 3298 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
258249, 254, 257syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
259216, 258, 167sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
260213, 259impbida 876 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))))
261260eqrdv 2619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
262261reseq2d 5361 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))))
26330adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
264 ioossre 12184 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
265264a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
266263, 265feqresmpt 6212 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
267262, 266eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
268261oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
269166, 267, 2683eltr3d 2712 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
27049, 132syl5sseqr 3638 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
271270adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
272 eqid 2621 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
273 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
274153ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
275155ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
276157ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
277 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
278160, 181sseldi 3585 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
279274, 275, 276, 277, 278fourierdlem1 39653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
280 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
281280anbi2d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
282 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
283282fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)))
284 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
285283, 284eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧)))
286281, 285imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))))
287286, 164chvarv 2262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))
288273, 279, 287syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑧 + 𝑇)) = (𝐹𝑧))
289135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 54limcperiod 39287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
290109eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
291267, 290oveq12d 6628 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆‘(𝑖 + 1))))
292289, 291eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆‘(𝑖 + 1))))
293135, 123, 271, 225, 272, 151, 288, 55limcperiod 39287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄𝑖) + 𝑇)))
29499eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = (𝑆𝑖))
295267, 294oveq12d 6628 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) lim ((𝑄𝑖) + 𝑇)) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆𝑖)))
296293, 295eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑆𝑖)))
297120, 121, 269, 292, 296iblcncfioo 39522 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
29830ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
299120adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
300121adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
301 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
302 eliccre 39162 . . . . . . 7 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
303299, 300, 301, 302syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
304298, 303ffvelrnd 6321 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
305120, 121, 297, 304ibliooicc 39515 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
30615, 20, 94, 110, 119, 305itgspltprt 39523 . . 3 (𝜑 → ∫((𝑆‘0)[,](𝑆𝑀))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
307 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆𝑖) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
308307adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
309 fourierdlem81.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
310 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
311 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = 𝑅)
312310, 311eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
313312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
314 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
315314adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
316 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
317316adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
318 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
319318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
320 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
321320adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
322319, 321eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝐿 = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
323315, 317, 3223eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑥 = (𝑄𝑖) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
324323adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
325314ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
326 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
327326adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
328318ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
329 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
330329adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
331182ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
332184ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
33360ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
33442ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
33560adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
336182ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
337184ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339 iccgelb 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
340336, 337, 338, 339syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
341 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
342341adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
343334, 335, 340, 342leneltd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
344343adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
34545ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
346182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
347184adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
348 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
349 iccleub 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
351350ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
352 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
353352necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
354353adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
355333, 345, 351, 354leneltd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
356331, 332, 333, 344, 355eliood 39154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
357 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
359328, 330, 3583eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
360325, 327, 3593eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
361324, 360pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
362313, 361pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
363362mpteq2dva 4709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
364309, 363syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
365 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑄𝑖) ↔ 𝑤 = (𝑄𝑖)))
366 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ 𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
367 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))
368366, 367ifbieq2d 4088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))
369365, 368ifbieq2d 4088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))))
370369cbvmptv 4715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))))
371364, 370syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
372371adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
373 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → 𝑤 = (𝑥𝑇))
374 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑆𝑖) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
375374ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
376227eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
377376ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) = (𝑄𝑖))
378373, 375, 3773eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → 𝑤 = (𝑄𝑖))
379378iftrued 4071 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝑅)
380374adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
38142, 45, 29ltled 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
382 lbicc2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
383182, 184, 381, 382syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
384376, 383eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
385384adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
386380, 385eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
387 limccl 23558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ⊆ ℂ
388387, 55sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
389388adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑅 ∈ ℂ)
390372, 379, 386, 389fvmptd 6250 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = 𝑅)
391308, 390eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
392391adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
393 iffalse 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = (𝑆𝑖) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
394393adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
395371adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
396 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → (𝑤 = (𝑄𝑖) ↔ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖)))
397 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → (𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
398 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
399397, 398ifbieq2d 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))))
400396, 399ifbieq2d 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))))
401400adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))))
402 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖)))
403 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))) = 𝐿)
404402, 403ifbieq2d 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
405246, 404syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
406405adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if(((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))) = if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿))
40742, 29gtned 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ (𝑄𝑖))
408407neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖))
409408iffalsed 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
410409adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄𝑖), 𝑅, 𝐿) = 𝐿)
411401, 406, 4103eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝐿)
412411adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = 𝐿)
413 ubicc2 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
414182, 184, 381, 413syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
415246, 414eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
416415adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
417 limccl 23558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
418417, 54sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
419418adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐿 ∈ ℂ)
420395, 412, 416, 419fvmptd 6250 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)) = 𝐿)
421 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝑥𝑇) = ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
422421fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
423422adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐺‘((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇)))
424 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
425424adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
426420, 423, 4253eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
427426ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
428 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
429428adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
430371adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
431430ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)))))
432 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝑥𝑇) → (𝑤 = (𝑄𝑖) ↔ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)))
433 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑥𝑇) → (𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
434 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑥𝑇) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
435433, 434ifbieq2d 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝑥𝑇) → if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤)) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
436432, 435ifbieq2d 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑥𝑇) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))))
437436adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))))
438303recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
439225adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
440438, 439npcand 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
441440eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
442441adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
443 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
444443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄𝑖) + 𝑇))
445294ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) = (𝑆𝑖))
446442, 444, 4453eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖)) → 𝑥 = (𝑆𝑖))
447446stoic1a 1694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → ¬ (𝑥𝑇) = (𝑄𝑖))
448447iffalsed 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
449448ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄𝑖), 𝑅, if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))) = if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))))
450441adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
451 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
452451adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
453290ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
454450, 452, 4533eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
455454stoic1a 1694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ¬ (𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
456455iffalsed 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
457456adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
458457adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
459437, 449, 4583eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥𝑇)) → if(𝑤 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑤 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑤))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
46042adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
46145adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
46275ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
463303, 462resubcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
464227adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = ((𝑆𝑖) − 𝑇))
465206adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
466208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
467 iccgelb 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
468465, 466, 301, 467syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
469299, 303, 462, 468lesub1dd 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆𝑖) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
470464, 469eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
471 iccleub 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
472465, 466, 301, 471syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
473303, 300, 462, 472lesub1dd 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇))
474246adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑆‘(𝑖 + 1)) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
475473, 474breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
476460, 461, 463, 470, 475eliccd 39160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
477476ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
478135, 271fssresd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
479478ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
480182ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
481184ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
482303ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48395ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
484482, 483resubcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
48542ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
486463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
487470adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
488447neqned 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑥𝑇) ≠ (𝑄𝑖))
489485, 486, 487, 488leneltd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
490489adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑥𝑇))
491463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
49245ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
493475adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
494 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇))
495454ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))))
496494, 495syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇) → 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))))
497496con3dimp 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ¬ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑥𝑇))
498497neqned 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ (𝑥𝑇))
499491, 492, 493, 498leneltd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
500499adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
501480, 481, 484, 490, 500eliood 39154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
502479, 501ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
503431, 459, 477, 502fvmptd 6250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)))
504 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
505501, 504syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
506503, 505eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
507465ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ*)
508466ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
509120ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) ∈ ℝ)
510303adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
511468adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) ≤ 𝑥)
512 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = (𝑆𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
513512adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
514509, 510, 511, 513leneltd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
515514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆𝑖) < 𝑥)
516300ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
517472ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
518 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
519518necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
520519adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑆‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
521482, 516, 517, 520leneltd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
522507, 508, 482, 515, 521eliood 39154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))
523 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
525440fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
526525eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
527526ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
528438, 439subcld 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ ℂ)
529 elex 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑇) ∈ ℂ → (𝑥𝑇) ∈ V)
530528, 529syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ V)
531530ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ V)
532 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝜑)
533153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
534155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
535157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
536 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537533, 534, 535, 536fourierdlem8 39660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
538537adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
539538, 476sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
540539ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
541532, 540jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
542 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
543542anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))))
544 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
545544fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
546 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
547545, 546eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
548543, 547imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))))
549 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
550549anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
551 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
552551fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
553 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
554552, 553eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)))
555550, 554imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))))
556555, 164chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
557548, 556vtoclg 3255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑇) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
558531, 541, 557sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
559524, 527, 5583eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
560506, 559eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
561429, 560eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
562427, 561pm2.61dan 831 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
563394, 562eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
564392, 563pm2.61dan 831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
565308, 389eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
566565adantlr 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
567425, 419eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
568567ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
569263, 265fssresd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))):((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
570569ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))):((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
571570, 522ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) ∈ ℂ)
572429, 571eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
573568, 572pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ∈ ℂ)
574394, 573eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖)) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
575566, 574pm2.61dan 831 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
576 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
577576fvmpt2 6253 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
578301, 575, 577syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
579 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
580 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
581579, 580, 42, 45, 53, 54, 55cncfiooicc 39433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582364, 581eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583 cncff 22615 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
585584adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
586585, 476ffvelrnd 6321 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
587 fourierdlem81.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
588587fvmpt2 6253 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
589301, 586, 588syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
590564, 578, 5893eqtr4rd 2666 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑥) = ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥))
591590itgeq2dv 23467 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥)
592 ioossicc 12208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))
593592sseli 3583 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
594593adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
595593, 575sylan2 491 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) ∈ ℂ)
596594, 595, 577syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
597229, 237gtned 10123 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑆𝑖))
598597neneqd 2795 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑆𝑖))
599598iffalsed 4074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
600230, 241ltned 10124 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑆‘(𝑖 + 1)))
601600neneqd 2795 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)))
602601iffalsed 4074 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
603523adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
604602, 603eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (𝐹𝑥))
605596, 599, 6043eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
606605itgeq2dv 23467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
607578, 575eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) ∈ ℂ)
608120, 121, 607itgioo 23501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥)
609120, 121, 304itgioo 23501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
610606, 608, 6093eqtr3d 2663 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))((𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑆𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑆‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑖)(,)(𝑆‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
611591, 610eqtr2d 2656 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥)
61299, 109oveq12d 6628 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))) = (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
613612itgeq1d 39500 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))(𝐻𝑥) d𝑥)
614 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)))
615612eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
616615adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) = ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
617614, 616eleqtrd 2700 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1))))
618584adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝐺:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
61942adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
62045adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
62197adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ)
622108adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ)
623 eliccre 39162 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
624621, 622, 614, 623syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
62575ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
626624, 625resubcld 10409 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
627226eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
628627adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇))
629621rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ*)
630622rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*)
631 iccgelb 12179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ≤ 𝑥)
632629, 630, 614, 631syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑄𝑖) + 𝑇) ≤ 𝑥)
633621, 624, 625, 632lesub1dd 10594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄𝑖) + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
634628, 633eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑥𝑇))
635 iccleub 12178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑄𝑖) + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ≤ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
636629, 630, 614, 635syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → 𝑥 ≤ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))
637624, 622, 625, 636lesub1dd 10594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇))
638245adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇) − 𝑇) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
639637, 638breqtrd 4644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
640619, 620, 626, 634, 639eliccd 39160 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
641618, 640ffvelrnd 6321 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐺‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
642617, 641, 588syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐻𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
643 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))) = (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))))
644 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑇) = (𝑥𝑇))
645644fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦𝑇)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
646645adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐺‘(𝑦𝑇)) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
647643, 646, 614, 641fvmptd 6250 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → ((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) = (𝐺‘(𝑥𝑇)))
648642, 647eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))) → (𝐻𝑥) = ((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥))
649648itgeq2dv 23467 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) d𝑥)
65074adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
651645cbvmptv 4715 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇))) = (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑥𝑇)))
65242, 45, 381, 582, 650, 651itgiccshift 39524 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫(((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇))((𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑇)[,]((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑇)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑇)))‘𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥)
653613, 649, 6523eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐻𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥)
654132adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = ℝ)
65559, 654sseqtr4d 3626 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
65642, 45, 135, 53, 655, 55, 54, 309itgioocnicc 39521 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥))
657656simprd 479 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
658611, 653, 6573eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
659658sumeq2dv 14374 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑆𝑖)[,](𝑆‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥)
66090, 306, 6593eqtrrd 2660 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
66114, 63, 6603eqtrrd 2660 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079   ↾ cres 5081  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↑𝑚 cmap 7809  ℂcc 9885  ℝcr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890  ℝ*cxr 10024   < clt 10025   ≤ cle 10026   − cmin 10217  ℕcn 10971  ℕ0cn0 11243  ℤ≥cuz 11638  ℝ+crp 11783  (,)cioo 12124  [,]cicc 12127  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  Σcsu 14357  –cn→ccncf 22598  𝐿1cibl 23305  ∫citg 23306   limℂ climc 23545 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cc 9208  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-ovol 23152  df-vol 23153  df-mbf 23307  df-itg1 23308  df-itg2 23309  df-ibl 23310  df-itg 23311  df-0p 23356  df-ditg 23530  df-limc 23549  df-dv 23550 This theorem is referenced by:  fourierdlem92  39743
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