MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerid 23921
Description: Euler's identity. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eulerid ((exp‘(i · π)) + 1) = 0

Proof of Theorem eulerid
StepHypRef Expression
1 efipi 23920 . . 3 (exp‘(i · π)) = -1
21oveq1i 6441 . 2 ((exp‘(i · π)) + 1) = (-1 + 1)
3 ax-1cn 9753 . . 3 1 ∈ ℂ
4 neg1cn 10883 . . 3 -1 ∈ ℂ
5 1pneg1e0 10888 . . 3 (1 + -1) = 0
63, 4, 5addcomli 9983 . 2 (-1 + 1) = 0
72, 6eqtri 2536 1 ((exp‘(i · π)) + 1) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  cfv 5694  (class class class)co 6431  0cc0 9695  1c1 9696  ici 9697   + caddc 9698   · cmul 9700  -cneg 10022  expce 14504  πcpi 14509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-inf2 8301  ax-cnex 9751  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-pre-mulgt0 9772  ax-pre-sup 9773  ax-addf 9774  ax-mulf 9775
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-isom 5703  df-riota 6393  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-of 6676  df-om 6839  df-1st 6939  df-2nd 6940  df-supp 7063  df-wrecs 7174  df-recs 7235  df-rdg 7273  df-1o 7327  df-2o 7328  df-oadd 7331  df-er 7509  df-map 7626  df-pm 7627  df-ixp 7675  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-fin 7725  df-fsupp 8039  df-fi 8080  df-sup 8111  df-inf 8112  df-oi 8178  df-card 8528  df-cda 8753  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-xr 9837  df-ltxr 9838  df-le 9839  df-sub 10023  df-neg 10024  df-div 10438  df-nn 10780  df-2 10838  df-3 10839  df-4 10840  df-5 10841  df-6 10842  df-7 10843  df-8 10844  df-9 10845  df-n0 11052  df-z 11123  df-dec 11238  df-uz 11432  df-q 11535  df-rp 11579  df-xneg 11692  df-xadd 11693  df-xmul 11694  df-ioo 11923  df-ioc 11924  df-ico 11925  df-icc 11926  df-fz 12070  df-fzo 12207  df-fl 12327  df-seq 12536  df-exp 12595  df-fac 12795  df-bc 12824  df-hash 12852  df-shft 13518  df-cj 13550  df-re 13551  df-im 13552  df-sqrt 13686  df-abs 13687  df-limsup 13914  df-clim 13937  df-rlim 13938  df-sum 14138  df-ef 14510  df-sin 14512  df-cos 14513  df-pi 14515  df-struct 15585  df-ndx 15586  df-slot 15587  df-base 15588  df-sets 15589  df-ress 15590  df-plusg 15669  df-mulr 15670  df-starv 15671  df-sca 15672  df-vsca 15673  df-ip 15674  df-tset 15675  df-ple 15676  df-ds 15679  df-unif 15680  df-hom 15681  df-cco 15682  df-rest 15794  df-topn 15795  df-0g 15813  df-gsum 15814  df-topgen 15815  df-pt 15816  df-prds 15819  df-xrs 15873  df-qtop 15879  df-imas 15880  df-xps 15883  df-mre 15965  df-mrc 15966  df-acs 15968  df-mgm 16961  df-sgrp 17003  df-mnd 17014  df-submnd 17055  df-mulg 17260  df-cntz 17469  df-cmn 17930  df-psmet 19467  df-xmet 19468  df-met 19469  df-bl 19470  df-mopn 19471  df-fbas 19472  df-fg 19473  df-cnfld 19476  df-top 20428  df-bases 20429  df-topon 20430  df-topsp 20431  df-cld 20540  df-ntr 20541  df-cls 20542  df-nei 20619  df-lp 20657  df-perf 20658  df-cn 20748  df-cnp 20749  df-haus 20836  df-tx 21082  df-hmeo 21275  df-fil 21367  df-fm 21459  df-flim 21460  df-flf 21461  df-xms 21841  df-ms 21842  df-tms 21843  df-cncf 22416  df-limc 23315  df-dv 23316
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator