MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 10079
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 10078 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2631 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935
This theorem is referenced by:  mvlladdi  10150  negsubdi2i  10218  1p2e3  10999  4t4e16  11465  6t3e18  11474  6t5e30  11476  6t5e30OLD  11477  7t3e21  11481  7t4e28  11482  7t6e42  11484  7t7e49  11485  8t3e24  11487  8t4e32  11488  8t5e40  11489  8t5e40OLD  11490  8t8e64  11494  9t3e27  11496  9t4e36  11497  9t5e45  11498  9t6e54  11499  9t7e63  11500  9t8e72  11501  9t9e81  11502  4bc3eq4  12932  n2dvdsm1  14889  bitsfzo  14941  gcdaddmlem  15029  6gcd4e2  15039  gcdi  15561  2exp8  15580  2exp16  15581  37prm  15612  43prm  15613  83prm  15614  139prm  15615  163prm  15616  317prm  15617  631prm  15618  1259lem1  15622  1259lem2  15623  1259lem3  15624  1259lem4  15625  1259lem5  15626  1259prm  15627  2503lem1  15628  2503lem2  15629  2503lem3  15630  2503prm  15631  4001lem1  15632  4001lem2  15633  4001lem4  15635  4001prm  15636  iaa  23801  dvradcnv  23896  eulerid  23947  binom4  24294  log2ublem3  24392  log2ub  24393  lgsdir2lem1  24767  m1lgs  24830  2lgsoddprmlem3d  24855  ex-bc  26467  ex-gcd  26472  ex-ind-dvds  26476  vcm  26592  fib5  29600  fib6  29601  inductionexd  37269  lhe4.4ex1a  37346  dirkertrigeqlem1  38788  sqwvfoura  38918  sqwvfourb  38919  fourierswlem  38920  fouriersw  38921  fmtno5lem4  39804  257prm  39809  fmtno4nprmfac193  39822  fmtno5faclem3  39829  fmtno5fac  39830  139prmALT  39847  127prm  39851  gbpart8  39988
  Copyright terms: Public domain W3C validator