Theorem addcomli 10825

Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
addcomli	⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
2		mul.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	addcomi 10824	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4		addcomli.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
5	3, 4	eqtri 2843	1 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7149  ℂcc 10528   + caddc 10533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673

This theorem is referenced by:  mvlladdi  10897  negsubdi2i  10965  1p2e3ALT  11775  4t4e16  12191  6t3e18  12197  6t5e30  12199  7t3e21  12202  7t4e28  12203  7t6e42  12205  7t7e49  12206  8t3e24  12208  8t4e32  12209  8t5e40  12210  8t8e64  12213  9t3e27  12215  9t4e36  12216  9t5e45  12217  9t6e54  12218  9t7e63  12219  9t8e72  12220  9t9e81  12221  n2dvdsm1  15714  bitsfzo  15779  gcdaddmlem  15867  6gcd4e2  15881  gcdi  16404  2exp8  16418  2exp16  16419  37prm  16449  43prm  16450  83prm  16451  139prm  16452  163prm  16453  317prm  16454  631prm  16455  1259lem1  16459  1259lem2  16460  1259lem3  16461  1259lem4  16462  1259lem5  16463  1259prm  16464  2503lem1  16465  2503lem2  16466  2503lem3  16467  2503prm  16468  4001lem1  16469  4001lem2  16470  4001lem4  16472  4001prm  16473  iaa  24912  dvradcnv  25007  eulerid  25058  binom4  25426  log2ublem3  25524  log2ub  25525  lgsdir2lem1  25899  m1lgs  25962  2lgsoddprmlem3d  25987  addsqnreup  26017  ex-exp  28227  ex-bc  28229  ex-gcd  28234  ex-ind-dvds  28238  9p10ne21  28247  vcm  28351  fib5  31684  fib6  31685  hgt750lem  31943  hgt750lem2  31944  60gcd7e1  39144  decpmulnc  39249  sqdeccom12  39251  sq3deccom12  39252  235t711  39253  ex-decpmul  39254  inductionexd  40579  lhe4.4ex1a  40735  dirkertrigeqlem1  42457  sqwvfoura  42587  sqwvfourb  42588  fourierswlem  42589  fouriersw  42590  fmtno5lem4  43792  257prm  43797  fmtno4nprmfac193  43810  fmtno5faclem3  43817  fmtno5fac  43818  139prmALT  43833  127prm  43837  11t31e341  43971  gbpart8  44007