MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fermltl 15408
Description: Fermat's little theorem. When 𝑃 is prime, 𝐴𝑃𝐴 (mod 𝑃) for any 𝐴, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fermltl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Proof of Theorem fermltl
StepHypRef Expression
1 prmnn 15307 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 dvdsval3 14906 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
31, 2sylan 488 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
4 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 0zd 11334 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 0 ∈ ℤ)
613ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11296 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
86nnrpd 11814 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∈ ℝ+)
9 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (𝐴 mod 𝑃) = 0)
10 0mod 12638 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
118, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (0 mod 𝑃) = 0)
129, 11eqtr4d 2663 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (𝐴 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
13 modexp 12936 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃)) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = ((0↑𝑃) mod 𝑃))
144, 5, 7, 8, 12, 13syl221anc 1334 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = ((0↑𝑃) mod 𝑃))
1560expd 12961 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (0↑𝑃) = 0)
1615oveq1d 6620 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → ((0↑𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
1712, 16eqtr4d 2663 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (𝐴 mod 𝑃) = ((0↑𝑃) mod 𝑃))
1814, 17eqtr4d 2663 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
19183expia 1264 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
203, 19sylbid 230 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃𝐴 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
21 coprm 15342 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
22 prmz 15308 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
23 gcdcom 15154 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
2422, 23sylan 488 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
2524eqeq1d 2628 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
2621, 25bitrd 268 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
27 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
2813ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
2928phicld 15396 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11296 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
31 zexpcl 12812 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
3227, 30, 31syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
3332zred 11426 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ)
34 1red 10000 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 1 ∈ ℝ)
3528nnrpd 11814 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℝ+)
36 eulerth 15407 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
371, 36syl3an1 1356 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
38 modmul1 12660 . . . . . 6 ((((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
3933, 34, 27, 35, 37, 38syl221anc 1334 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
40 phiprm 15401 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
41403ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
4241oveq2d 6621 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(𝑃 − 1)))
4342oveq1d 6620 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
4427zcnd 11427 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45 expm1t 12825 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝐴𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
4644, 28, 45syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
4743, 46eqtr4d 2663 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = (𝐴𝑃))
4847oveq1d 6620 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴𝑃) mod 𝑃))
4944mulid2d 10003 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5049oveq1d 6620 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((1 · 𝐴) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
5139, 48, 503eqtr3d 2668 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
52513expia 1264 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
5326, 52sylbid 230 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
5420, 53pm2.61d 170 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  +crp 11776   mod cmo 12605  cexp 12797  cdvds 14902   gcd cgcd 15135  cprime 15304  ϕcphi 15388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305  df-phi 15390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator