MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fermltl 15687
Description: Fermat's little theorem. When 𝑃 is prime, 𝐴𝑃𝐴 (mod 𝑃) for any 𝐴, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fermltl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Proof of Theorem fermltl
StepHypRef Expression
1 prmnn 15586 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 dvdsmodexp 15186 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
323exp 1113 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃𝐴 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))))
41, 1, 3sylc 65 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃𝐴 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
54adantr 472 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃𝐴 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
6 coprm 15621 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
7 prmz 15587 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
8 gcdcom 15433 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
97, 8sylan 489 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
109eqeq1d 2758 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
116, 10bitrd 268 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
12 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
1313ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
1413phicld 15675 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11539 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
16 zexpcl 13065 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
1712, 15, 16syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
1817zred 11670 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ)
19 1red 10243 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 1 ∈ ℝ)
2013nnrpd 12059 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℝ+)
21 eulerth 15686 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
221, 21syl3an1 1167 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
23 modmul1 12913 . . . . . 6 ((((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
2418, 19, 12, 20, 22, 23syl221anc 1488 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
25 phiprm 15680 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
26253ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
2726oveq2d 6825 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(𝑃 − 1)))
2827oveq1d 6824 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
2912zcnd 11671 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
30 expm1t 13078 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝐴𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
3129, 13, 30syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
3228, 31eqtr4d 2793 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = (𝐴𝑃))
3332oveq1d 6824 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴𝑃) mod 𝑃))
3429mulid2d 10246 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3534oveq1d 6824 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((1 · 𝐴) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3624, 33, 353eqtr3d 2798 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
37363expia 1115 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
3811, 37sylbid 230 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
395, 38pm2.61d 170 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  1c1 10125   · cmul 10129  cmin 10454  cn 11208  0cn0 11480  cz 11565  +crp 12021   mod cmo 12858  cexp 13050  cdvds 15178   gcd cgcd 15414  cprime 15583  ϕcphi 15667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-inf 8510  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-dvds 15179  df-gcd 15415  df-prm 15584  df-phi 15669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator