Theorem flbi2 13188

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
flbi2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

Proof of Theorem flbi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11986	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		readdcl 10620	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℝ)
3	1, 2	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℝ)
4		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		flbi 13187	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
6	3, 4, 5	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
7		addge01 11150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹)))
8		1re 10641	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		ltadd2 10744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
10	8, 9	mp3an2 1445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
11	10	ancoms 461	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
12	7, 11	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
13	1, 12	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
14	6, 13	bitr4d 284	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℤcz 11982  ⌊cfl 13161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fl 13163

This theorem is referenced by:  adddivflid  13189  ico01fl0  13190  divfl0  13195  fldiv4p1lem1div2  13206  fldiv  13229  modid  13265  flodddiv4  15764  bitsp1o  15782  fldivp1  16233  fourierdlem26  42438  zofldiv2ALTV  43847  zofldiv2  44611