Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem6 39624
Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem6.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem6.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem6 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6
StepHypRef Expression
1 fourierdlem6.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
21zred 11426 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3 fourierdlem6.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43zred 11426 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℝ)
6 fourierdlem6.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
7 fourierdlem6.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8 fourierdlem6.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 10403 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
106, 9syl5eqel 2708 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
115, 10remulcld 10015 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12 fourierdlem6.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
138, 7posdifd 10559 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1412, 13mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1514, 6syl6breqr 4660 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑇)
1610, 15elrpd 11813 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
17 fourierdlem6.jel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 fourierdlem6.iel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
198, 7, 17, 18iccsuble 39143 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵𝐴))
202recnd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
214recnd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
2210recnd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2320, 21, 22subdird 10432 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24 fourierdlem6.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2524recnd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
262, 10remulcld 10015 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
2726recnd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
284, 10remulcld 10015 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
2928recnd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
3025, 27, 29pnpcand 10374 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
3123, 30eqtr4d 2663 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
326a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
3319, 31, 323brtr4d 4650 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
3411, 10, 16, 33lediv1dd 11874 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
355recnd 10013 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℂ)
3615gt0ne0d 10537 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
3735, 22, 36divcan4d 10752 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽𝐼))
3822, 36dividd 10744 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
3934, 37, 383brtr3d 4649 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐼) ≤ 1)
40 1red 10000 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
412, 4, 40lesubadd2d 10571 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
4239, 41mpbid 222 . 2 (𝜑𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43 fourierdlem6.iltj . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐽)
44 zltp1le 11372 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
453, 1, 44syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
4643, 45mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
474, 40readdcld 10014 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
482, 47letri3d 10124 . 2 (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
4942, 46, 48mpbir2and 956 1 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cz 11322  [,]cicc 12117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-rp 11777  df-icc 12121
This theorem is referenced by:  fourierdlem35  39653  fourierdlem51  39668
  Copyright terms: Public domain W3C validator