MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdifd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posdifd 10558
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
posdifd (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))

Proof of Theorem posdifd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 posdif 10465 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   < clt 10018  cmin 10210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213
This theorem is referenced by:  possumd  10596  ltmul1a  10816  cshwcsh2id  13511  sqrlem7  13923  fsumlt  14459  bpoly4  14715  sin01gt0  14845  nno  15022  pythagtriplem10  15449  evth  22666  minveclem4  23111  ismbf3d  23327  itg2seq  23415  dvferm1lem  23651  dvferm2lem  23653  mvth  23659  dvlip  23660  dvgt0  23671  dvlt0  23672  dvge0  23673  dvcvx  23687  ftc1lem4  23706  pilem2  24110  cosordlem  24181  lgamgulmlem2  24656  lgsquadlem1  25005  brbtwn2  25685  axpaschlem  25720  axcontlem8  25751  crctcshwlkn0  26582  clwlkclwwlklem2a4  26765  clwwlksext2edg  26789  minvecolem4  27582  sgnsub  30384  signslema  30416  dnibndlem5  32111  unbdqndv2lem2  32140  knoppndvlem2  32143  knoppndvlem21  32162  poimirlem7  33045  itg2addnclem  33090  itg2gt0cn  33094  ftc1cnnclem  33112  areacirclem1  33129  areacirc  33134  irrapxlem3  36865  pell14qrgt0  36900  rmspecnonsq  36949  rmspecfund  36951  rmspecpos  36958  jm3.1lem1  37061  radcnvrat  37992  supxrgere  39010  supxrgelem  39014  dvbdfbdioolem1  39446  dvbdfbdioolem2  39447  ioodvbdlimc1lem1  39449  ioodvbdlimc1lem2  39450  ioodvbdlimc2lem  39452  dvnxpaek  39460  wallispilem4  39589  wallispi2lem1  39592  stirlinglem11  39605  fourierdlem4  39632  fourierdlem6  39634  fourierdlem7  39635  fourierdlem19  39647  fourierdlem26  39654  fourierdlem41  39669  fourierdlem42  39670  fourierdlem48  39675  fourierdlem49  39676  fourierdlem51  39678  fourierdlem61  39688  fourierdlem63  39690  fourierdlem64  39691  fourierdlem65  39692  fourierdlem71  39698  fourierdlem79  39706  fourierdlem89  39716  fourierdlem90  39717  fourierdlem91  39718  fouriersw  39752  etransclem15  39770  etransclem24  39779  etransclem25  39780  etransclem35  39790  ioorrnopnlem  39828  hoidmvlelem2  40114  hoiqssbllem2  40141  iunhoiioolem  40193  zm1nn  40610  nnoALTV  40902  fllog2  41651  dignn0flhalflem1  41698
  Copyright terms: Public domain W3C validator