Theorem posdifd 11220

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  ℝcr 10529  0cc0 10530   < clt 10668   − cmin 10863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866

This theorem is referenced by:  possumd  11258  ltmul1a  11482  cshwcsh2id  14185  sqrlem7  14603  fsumlt  15150  bpoly4  15408  sin01gt0  15538  nno  15728  pythagtriplem10  16152  evth  23558  minveclem4  24030  ismbf3d  24250  itg2seq  24338  dvferm1lem  24578  dvferm2lem  24580  mvth  24586  dvlip  24587  dvgt0  24598  dvlt0  24599  dvge0  24600  dvcvx  24614  ftc1lem4  24633  pilem2  25038  cosordlem  25113  lgamgulmlem2  25605  lgsquadlem1  25954  brbtwn2  26689  axpaschlem  26724  axcontlem8  26755  crctcshwlkn0  27597  clwlkclwwlklem2a4  27773  clwwlkext2edg  27833  minvecolem4  28655  cycpmrn  30806  sgnsub  31823  signslema  31853  fdvposlt  31891  tgoldbachgtde  31952  dnibndlem5  33842  unbdqndv2lem2  33870  knoppndvlem2  33873  knoppndvlem21  33892  poimirlem7  34934  itg2addnclem  34978  itg2gt0cn  34982  ftc1cnnclem  34998  areacirclem1  35015  areacirc  35020  3cubeslem1  39357  irrapxlem3  39497  pell14qrgt0  39532  rmspecnonsq  39580  rmspecfund  39582  rmspecpos  39589  jm3.1lem1  39690  radcnvrat  40720  supxrgere  41675  supxrgelem  41679  dvbdfbdioolem1  42287  dvbdfbdioolem2  42288  ioodvbdlimc1lem1  42290  ioodvbdlimc1lem2  42291  ioodvbdlimc2lem  42293  dvnxpaek  42301  wallispilem4  42427  wallispi2lem1  42430  stirlinglem11  42443  fourierdlem4  42470  fourierdlem6  42472  fourierdlem7  42473  fourierdlem19  42485  fourierdlem26  42492  fourierdlem41  42507  fourierdlem42  42508  fourierdlem48  42513  fourierdlem49  42514  fourierdlem51  42516  fourierdlem61  42526  fourierdlem63  42528  fourierdlem64  42529  fourierdlem65  42530  fourierdlem71  42536  fourierdlem79  42544  fourierdlem89  42554  fourierdlem90  42555  fourierdlem91  42556  fouriersw  42590  etransclem15  42608  etransclem24  42617  etransclem25  42618  etransclem35  42628  ioorrnopnlem  42663  hoidmvlelem2  42952  hoiqssbllem2  42979  iunhoiioolem  43031  zm1nn  43576  nnoALTV  43934  fllog2  44702  dignn0flhalflem1  44749  eenglngeehlnmlem2  44799  2itscp  44842