MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcl2lem 14600
Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllem.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcl2lem.5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fprodcl2lem (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcl2lem
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodcl2lem.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21a1d 25 . . 3 (𝜑 → (¬ ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆𝐴 ≠ ∅))
32necon4bd 2816 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
4 prodfc 14595 . . . . . . 7 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐵
5 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑥) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
6 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
7 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
8 fprodcllem.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10 fprodcllem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
119, 10sseldd 3589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1311, 12fmptd 6341 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6316 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
1514adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16 f1of 6096 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
1716ad2antll 764 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
18 fvco3 6233 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
1917, 18sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
205, 6, 7, 15, 19fprod 14591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
214, 20syl5eqr 2674 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
22 nnuz 11667 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
236, 22syl6eleq 2714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
2410, 12fmptd 6341 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
26 fco 6017 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶𝑆)
2725, 17, 26syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶𝑆)
2827ffvelrnda 6316 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) ∈ 𝑆)
29 fprodcllem.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3029adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3123, 28, 30seqcl 12758 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)) ∈ 𝑆)
3221, 31eqeltrd 2704 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
3332expr 642 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3433exlimdv 1863 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3534expimpd 628 . 2 (𝜑 → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
36 fprodcllem.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
37 fz1f1o 14369 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3836, 37syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
393, 35, 38mpjaod 396 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  wss 3560  c0 3896  cmpt 4678  ccom 5083  wf 5846  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  cc 9879  1c1 9882   · cmul 9886  cn 10965  cuz 11631  ...cfz 12265  seqcseq 12738  #chash 13054  cprod 14555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-prod 14556
This theorem is referenced by:  fprodcllem  14601
  Copyright terms: Public domain W3C validator