Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddivf 14662
 Description: The quotient of two finite products. A version of fproddiv 14635 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddivf.kph 𝑘𝜑
fproddivf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fproddivf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3528 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2 csbeq1a 3528 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
31, 2oveq12d 6633 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
4 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝐴
5 nfcv 2761 . . . 4 𝑘𝐴
6 nfcv 2761 . . . 4 𝑗(𝐵 / 𝐶)
7 nfcsb1v 3535 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
8 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘 /
9 nfcsb1v 3535 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
107, 8, 9nfov 6641 . . . 4 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
113, 4, 5, 6, 10cbvprod 14589 . . 3 𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
13 fproddivf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
14 fproddivf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
15 nfvd 1841 . . . . . 6 (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗𝐴)
1614, 15nfan1 2066 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
17 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑘
187, 17nfel 2773 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1916, 18nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
20 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
2120anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
221eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2321, 22imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
24 fproddivf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2519, 23, 24chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
269, 17nfel 2773 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
2716, 26nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
282eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2921, 28imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
30 fproddivf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3127, 29, 30chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
32 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑘0
339, 32nfne 2890 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0
3416, 33nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
352neeq1d 2849 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ≠ 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0))
3621, 35imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)))
37 fproddivf.ne0 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3834, 36, 37chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
3913, 25, 31, 38fproddiv 14635 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶))
40 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑗𝐵
411, 4, 5, 40, 7cbvprod 14589 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
4241eqcomi 2630 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵
4342a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
442equcoms 1944 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
4544eqcomd 2627 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
46 nfcv 2761 . . . . 5 𝑗𝐶
4745, 5, 4, 9, 46cbvprod 14589 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶
4847a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4943, 48oveq12d 6633 . 2 (𝜑 → (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
5012, 39, 493eqtrd 2659 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ⦋csb 3519  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  ℂcc 9894  0cc0 9896   / cdiv 10644  ∏cprod 14579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-prod 14580 This theorem is referenced by:  fprodle  14671
 Copyright terms: Public domain W3C validator