Theorem hash2iun1dif1 14600

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (#‘𝐶) = 1)

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
3		diffi 8233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
6	2, 5	syl5eqel 2734	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
7		hash2iun1dif1.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
8		hash2iun1dif1.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
9		hash2iun1dif1.db	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
10	1, 6, 7, 8, 9	hash2iun 14599	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (#‘𝐶))
11		hash2iun1dif1.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (#‘𝐶) = 1)
12	11	2sumeq2dv 14480	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (#‘𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1)
13		1cnd 10094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14		fsumconst 14566	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((#‘𝐵) · 1))
15	6, 13, 14	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((#‘𝐵) · 1))
16	15	sumeq2dv 14477	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐵) · 1))
17	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
18	17	fveq2d 6233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘𝐵) = (#‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
19		hashdifsn 13240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((#‘𝐴) − 1))
20	1, 19	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((#‘𝐴) − 1))
21	18, 20	eqtrd 2685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (#‘𝐵) = ((#‘𝐴) − 1))
22	21	oveq1d 6705	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((#‘𝐵) · 1) = (((#‘𝐴) − 1) · 1))
23	22	sumeq2dv 14477	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐵) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((#‘𝐴) − 1) · 1))
24		hashcl 13185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
25	1, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 11391	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
27		peano2cnm 10385	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℂ → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
29	28	mulid1d 10095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) · 1) = ((#‘𝐴) − 1))
30	29	sumeq2ad 14478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((#‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐴) − 1))
31		fsumconst 14566	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐴) − 1) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
32	1, 28, 31	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((#‘𝐴) − 1) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
33	30, 32	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((#‘𝐴) − 1) · 1) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
34	16, 23, 33	3eqtrd 2689	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))
35	10, 12, 34	3eqtrd 2689	1 ⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((#‘𝐴) · ((#‘𝐴) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ∪ ciun 4552  Disj wdisj 4652  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  1c1 9975   · cmul 9979   − cmin 10304  ℕ₀cn0 11330  #chash 13157  Σcsu 14460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  27312  fusgreghash2wspv  27315