MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcf1 16295
Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcf1.b 𝐵 = (Base‘𝐷)
funcf1.c 𝐶 = (Base‘𝐸)
funcf1.f (𝜑𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
Assertion
Ref Expression
funcf1 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem funcf1
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcf1.f . . 3 (𝜑𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
2 funcf1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐷)
3 funcf1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝐸)
4 eqid 2609 . . . 4 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5 eqid 2609 . . . 4 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
6 eqid 2609 . . . 4 (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
7 eqid 2609 . . . 4 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
8 eqid 2609 . . . 4 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
9 eqid 2609 . . . 4 (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
10 df-br 4578 . . . . . . 7 (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
111, 10sylib 206 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12 funcrcl 16292 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
1413simpld 473 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
1513simprd 477 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15isfunc 16293 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐺X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚))))))
171, 16mpbid 220 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐶𝐺X𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵)(((𝐹‘(1st𝑧))(Hom ‘𝐸)(𝐹‘(2nd𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝐷)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝑥𝐺𝑥)‘((Id‘𝐷)‘𝑥)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)((𝑥𝐺𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝐺𝑧)‘𝑛)(⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑧))((𝑥𝐺𝑦)‘𝑚)))))
1817simp1d 1065 1 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  cop 4130   class class class wbr 4577   × cxp 5026  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  1st c1st 7034  2nd c2nd 7035  𝑚 cmap 7721  Xcixp 7771  Basecbs 15641  Hom chom 15725  compcco 15726  Catccat 16094  Idccid 16095   Func cfunc 16283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-map 7723  df-ixp 7772  df-func 16287
This theorem is referenced by:  funcsect  16301  funcinv  16302  funciso  16303  funcoppc  16304  cofu1  16313  cofucl  16317  cofuass  16318  cofulid  16319  cofurid  16320  funcres  16325  funcres2  16327  wunfunc  16328  funcres2c  16330  fullpropd  16349  fthsect  16354  fthinv  16355  fthmon  16356  ffthiso  16358  cofull  16363  cofth  16364  fuccocl  16393  fucidcl  16394  fuclid  16395  fucrid  16396  fucass  16397  fucsect  16401  fucinv  16402  invfuc  16403  fuciso  16404  natpropd  16405  fucpropd  16406  catciso  16526  prfval  16608  prfcl  16612  prf1st  16613  prf2nd  16614  1st2ndprf  16615  evlfcllem  16630  evlfcl  16631  curf1cl  16637  curfcl  16641  uncf1  16645  uncf2  16646  curfuncf  16647  uncfcurf  16648  diag1cl  16651  curf2ndf  16656  yon1cl  16672  oyon1cl  16680  yonedalem3a  16683  yonedalem4c  16686  yonedalem3b  16688  yonedalem3  16689  yonedainv  16690  yonffthlem  16691  yoniso  16694
  Copyright terms: Public domain W3C validator