Theorem fvmptelrn 6877

Description: The value of a function at a point of its domain belongs to its codomain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmptelrn.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fvmptelrn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fvmptelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptelrn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	fmpt 6874	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
4	1, 3	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
5	4	r19.21bi 3208	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363

This theorem is referenced by:  rlimmptrcl  14964  lo1mptrcl  14978  o1mptrcl  14979  psrass1lem  20157  frlmgsum  20916  uvcresum  20937  txcnp  22228  ptcnp  22230  ptcn  22235  cnmpt11  22271  cnmpt1t  22273  cnmpt12  22275  cnmptkp  22288  cnmptk1  22289  cnmptkk  22291  cnmptk1p  22293  cnmptk2  22294  cnmpt1plusg  22695  cnmpt1vsca  22802  cnmpt1ds  23450  cncfmpt2ss  23523  cnmpt1ip  23850  divcncf  24048  mbfmptcl  24237  i1fposd  24308  itgss3  24415  dvmptcl  24556  dvmptco  24569  dvle  24604  dvfsumle  24618  dvfsumge  24619  dvmptrecl  24621  itgparts  24644  itgsubstlem  24645  itgsubst  24646  ulmss  24985  ulmdvlem2  24989  itgulm2  24997  logtayl  25243  cncfcompt  42186  cncficcgt0  42191  cncfcompt2  42202  itgsubsticclem  42280  sge0iunmptlemre  42717  hoicvrrex  42858  smfadd  43061  smfpimioompt  43081  smfsupmpt  43109  smfinfmpt  43113