Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsca1 30087
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z 0 = (0g𝑊)
gsumvsca.t · = ( ·𝑠𝑊)
gsumvsca.p + = (+g𝑊)
gsumvsca.k (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca1.n (𝜑𝑃𝐾)
gsumvsca1.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑄(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐾(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3761 . . 3 𝐴𝐴
3 sseq1 3763 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
43anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5 mpteq1 4885 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
65oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7 mpteq1 4885 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))
87oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))
98oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
106, 9eqeq12d 2771 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))))
114, 10imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))))
12 sseq1 3763 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑎𝐴𝑒𝐴))
1312anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑒𝐴)))
14 mpteq1 4885 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
1514oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16 mpteq1 4885 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝑒𝑄))
1716oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))
1817oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
1915, 18eqeq12d 2771 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
2013, 19imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))))
21 sseq1 3763 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
2221anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23 mpteq1 4885 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
2423oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25 mpteq1 4885 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))
2625oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))
2726oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
2824, 27eqeq12d 2771 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))))
2922, 28imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
30 sseq1 3763 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3130anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
32 mpteq1 4885 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
3332oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34 mpteq1 4885 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝐴𝑄))
3534oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))
3635oveq2d 6825 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
3733, 36eqeq12d 2771 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
3831, 37imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐾)
4240, 41sseldd 3741 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
45 eqid 2756 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
4743, 44, 45, 46slmdvs0 30083 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4839, 42, 47syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4948eqcomd 2762 . . . . . . 7 (𝜑0 = (𝑃 · 0 ))
50 mpt0 6178 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
5150oveq2i 6820 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
5246gsum0 17475 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg ∅) = 0
5351, 52eqtri 2778 . . . . . . 7 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
54 mpt0 6178 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄) = ∅
5554oveq2i 6820 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = (𝑊 Σg ∅)
5655, 52eqtri 2778 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = 0
5756oveq2i 6820 . . . . . . 7 (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))) = (𝑃 · 0 )
5849, 53, 573eqtr4g 2815 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
5958adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
60 ssun1 3915 . . . . . . . . 9 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61 sstr2 3747 . . . . . . . . 9 (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴)
6362anim2i 594 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑𝑒𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
6539ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
6642ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑊)
68 slmdcmn 30063 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
70 vex 3339 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝜑)
73 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7473unssad 3929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒𝐴)
7574sselda 3740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑘𝐴)
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
7772, 75, 76syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑄𝐵)
78 eqid 2756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑒𝑄) = (𝑘𝑒𝑄)
7977, 78fmptd 6544 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄):𝑒𝐵)
80 simpll 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
81 fvex 6358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑊) ∈ V
8246, 81eqeltri 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 0 ∈ V)
8478, 80, 77, 83fsuppmptdm 8447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄) finSupp 0 )
8567, 46, 69, 71, 79, 84gsumcl 18512 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵)
8673unssbd 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
87 vex 3339 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
8887snss 4456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
8986, 88sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
9076ralrimiva 3100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
9190ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
92 rspcsbela 4145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
9389, 91, 92syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
94 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝑊)
9567, 94, 43, 44, 45slmdvsdi 30073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9665, 66, 85, 93, 95syl13anc 1479 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9796adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
98 nfcsb1v 3686 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝑄
9987a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
100 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑒)
101 csbeq1a 3679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝑄 = 𝑧 / 𝑘𝑄)
10298, 67, 94, 69, 80, 77, 99, 100, 93, 101gsumunsnf 18554 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄))
103102oveq2d 6825 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
104103adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
105 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑃
106 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ·
107105, 106, 98nfov 6835 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)
10872, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
10972, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
11067, 43, 44, 45slmdvscl 30072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
111108, 109, 77, 110syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11267, 43, 44, 45slmdvscl 30072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
11365, 66, 93, 112syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
114101oveq2d 6825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄))
115107, 67, 94, 69, 80, 111, 99, 100, 113, 114gsumunsnf 18554 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
116115adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
117 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
118117oveq1d 6824 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
119116, 118eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
12097, 104, 1193eqtr4rd 2801 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
121120exp31 631 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
122121a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12364, 122syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12411, 20, 29, 38, 59, 123findcard2s 8362 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
125124imp 444 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑𝐴𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1262, 125mpanr2 722 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1271, 126mpancom 706 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wral 3046  Vcvv 3336  csb 3670  cun 3709  wss 3711  c0 4054  {csn 4317  cmpt 4877  cfv 6045  (class class class)co 6809  Fincfn 8117  Basecbs 16055  +gcplusg 16139  Scalarcsca 16142   ·𝑠 cvsca 16143  0gc0g 16298   Σg cgsu 16299  CMndccmn 18389  SLModcslmd 30058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-hash 13308  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-srg 18702  df-slmd 30059
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator