MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2dif 13300
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑥} → (#‘𝐷) = (#‘{𝑥}))
2 hashsng 13197 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (#‘{𝑥}) = 1)
31, 2sylan9eqr 2707 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝐷 = {𝑥}) → (#‘𝐷) = 1)
43ralimiaa 2980 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1)
5 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
6 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
75, 6readdcli 10091 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9 2re 11128 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
148, 10, 133jca 1261 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ))
15 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
16 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
1715, 16eqbrtri 4706 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) < 2
1817jctl 563 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ (#‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
21 ltleletr 10168 . . . . . . . . . . 11 (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2214, 20, 21sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷))
2311nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
24 0z 11426 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
2523, 24jctil 559 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
27 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2922, 28mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
30 0ltpnf 11994 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
31 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷𝑉)
3231anim2i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑉))
3332ancomd 466 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34 hashinf 13162 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (#‘𝐷) = +∞)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) = +∞)
3630, 35syl5breqr 4723 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
3729, 36pm2.61ian 848 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 0 < (#‘𝐷))
38 hashgt0n0 13194 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 0 < (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
3937, 38syldan 486 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40 rspn0 3967 . . . . . . 7 (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
42 breq2 4689 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
436, 9ltnlei 10196 . . . . . . . . . . 11 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44 pm2.21 120 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4543, 44sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4616, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
4742, 46syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4847com12 32 . . . . . . 7 (2 ≤ (#‘𝐷) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4948adantl 481 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5041, 49syldc 48 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
514, 50syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52 ax-1 6 . . . 4 (¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5351, 52pm2.61i 176 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
54 eqsn 4393 . . . . . 6 (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
5539, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
56 equcom 1991 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
5857ralbidv 3015 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
5955, 58bitrd 268 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6059ralbidv 3015 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6153, 60mtbid 313 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
62 df-ne 2824 . . . . . 6 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6362rexbii 3070 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64 rexnal 3024 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6563, 64bitri 264 . . . 4 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6665rexbii 3070 . . 3 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
67 rexnal 3024 . . 3 (∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6866, 67bitri 264 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6961, 68sylibr 224 1 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  cz 11415  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13302  fundmge2nop0  13312  tglowdim1  25440
  Copyright terms: Public domain W3C validator