MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2dif 13069
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 6087 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑥} → (#‘𝐷) = (#‘{𝑥}))
2 hashsng 12974 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (#‘{𝑥}) = 1)
31, 2sylan9eqr 2665 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝐷 = {𝑥}) → (#‘𝐷) = 1)
43ralimiaa 2934 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1)
5 0re 9896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
6 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
75, 6readdcli 9909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9 2re 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11 hashcl 12963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) ∈ ℝ)
148, 10, 133jca 1234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ))
15 0p1e1 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
16 1lt2 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
1715, 16eqbrtri 4598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 1) < 2
1817jctl 561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ (#‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)))
21 ltleletr 9981 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2214, 20, 21sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (#‘𝐷))
2311nn0zd 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ Fin → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
24 0z 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2523, 24jctil 557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ))
27 zltp1le 11262 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (0 < (#‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
2922, 28mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
30 0ltpnf 11795 . . . . . . . . . . . 12 0 < +∞
31 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷𝑉)
3231anim2i 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑉))
3332ancomd 465 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34 hashinf 12941 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (#‘𝐷) = +∞)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → (#‘𝐷) = +∞)
3630, 35syl5breqr 4615 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷))) → 0 < (#‘𝐷))
3729, 36pm2.61ian 826 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 0 < (#‘𝐷))
38 hashgt0n0 12971 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉 ∧ 0 < (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
3937, 38syldan 485 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40 rspn0 3891 . . . . . . . . 9 (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → (#‘𝐷) = 1))
4241imp 443 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1) → (#‘𝐷) = 1)
43 breq2 4581 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
446, 9ltnlei 10009 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
45 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4644, 45sylbi 205 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4716, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
4843, 47syl6bi 241 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (#‘𝐷) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4948com12 32 . . . . . . . . 9 (2 ≤ (#‘𝐷) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5049adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5150adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1) → ((#‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5242, 51mpd 15 . . . . . 6 (((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) ∧ ∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
5352expcom 449 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 (#‘𝐷) = 1 → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
544, 53syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
55 ax-1 6 . . . 4 (¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5654, 55pm2.61i 174 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
57 eqsn 4298 . . . . . 6 (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
5839, 57syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
59 equcom 1931 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
6059a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
6160ralbidv 2968 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6258, 61bitrd 266 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6362ralbidv 2968 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6456, 63mtbid 312 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
65 df-ne 2781 . . . . . 6 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6665rexbii 3022 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
67 rexnal 2977 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6866, 67bitri 262 . . . 4 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6968rexbii 3022 . . 3 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
70 rexnal 2977 . . 3 (∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
7169, 70bitri 262 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
7264, 71sylibr 222 1 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  +∞cpnf 9927   < clt 9930  cle 9931  2c2 10919  cz 11212  #chash 12936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-hash 12937
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13071  tglowdim1  25139  fundmge2nop0  40131
  Copyright terms: Public domain W3C validator