Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem7N 35964
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19, s-St G(u'+s) = P*. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+g𝑈)
hdmaprnlem1.pt (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem7N (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))

Proof of Theorem hdmaprnlem7N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
2 hdmaprnlem1.a . . 3 = (+g𝐶)
3 eqid 2605 . . 3 (-g𝐶) = (-g𝐶)
4 hdmaprnlem1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 hdmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmaprnlem1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6lcdlmod 35698 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
8 lmodabl 18675 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Abel)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Abel)
10 hdmaprnlem1.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmaprnlem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 hdmaprnlem1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmaprnlem1.ue . . . 4 (𝜑𝑢𝑉)
144, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 13hdmapcl 35939 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
15 hdmaprnlem1.se . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
1615eldifad 3547 . . 3 (𝜑𝑠𝐷)
17 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
19 hdmaprnlem1.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20 hdmaprnlem1.ve . . . . 5 (𝜑𝑣𝑉)
21 hdmaprnlem1.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
22 hdmaprnlem1.un . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
23 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
24 hdmaprnlem1.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
25 hdmaprnlem1.t2 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
264, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25hdmaprnlem4tN 35961 . . . 4 (𝜑𝑡𝑉)
274, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 26hdmapcl 35939 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
281, 2, 3, 9, 14, 16, 27, 9, 14, 16, 27ablpnpcan 17990 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝑢) 𝑠)(-g𝐶)((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))) = (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)))
291, 2lmodvacl 18642 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
307, 14, 16, 29syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
31 eqid 2605 . . . . 5 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
321, 31, 18lspsncl 18740 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
337, 30, 32syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
341, 18lspsnid 18756 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
357, 30, 34syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
361, 2lmodvacl 18642 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ 𝐷)
377, 14, 27, 36syl3anc 1317 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ 𝐷)
381, 18lspsnid 18756 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ 𝐷) → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))}))
397, 37, 38syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))}))
40 hdmaprnlem1.p . . . . 5 + = (+g𝑈)
41 hdmaprnlem1.pt . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
424, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25, 40, 41hdmaprnlem6N 35963 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))}))
4339, 42eleqtrrd 2686 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
443, 31lssvsubcl 18707 . . 3 (((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶)) ∧ (((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∧ ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) → (((𝑆𝑢) 𝑠)(-g𝐶)((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
457, 33, 35, 43, 44syl22anc 1318 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝑢) 𝑠)(-g𝐶)((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
4628, 45eqeltrrd 2684 1 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cdif 3532  {csn 4120  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  0gc0g 15865  -gcsg 17189  Abelcabl 17959  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  LSpanclspn 18734  HLchlt 33454  LHypclh 34087  DVecHcdvh 35184  LCDualclcd 35692  mapdcmpd 35730  HDMapchdma 35899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-undef 7259  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lsatoms 33080  df-lshyp 33081  df-lcv 33123  df-lfl 33162  df-lkr 33190  df-ldual 33228  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263  df-tgrp 34848  df-tendo 34860  df-edring 34862  df-dveca 35108  df-disoa 35135  df-dvech 35185  df-dib 35245  df-dic 35279  df-dih 35335  df-doch 35454  df-djh 35501  df-lcdual 35693  df-mapd 35731  df-hvmap 35863  df-hdmap1 35900  df-hdmap 35901
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  35966
  Copyright terms: Public domain W3C validator