Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilocv 36726
 Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhil0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilocv.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilocv.n 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilocv.o 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilocv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hlhilocv (𝜑 → (𝑂𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem hlhilocv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhil0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhil0.u . . . . 5 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhil0.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 hlhil0.l . . . . 5 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hlhilocv.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐿)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 36705 . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑈))
7 rabeq 3179 . . . 4 (𝑉 = (Base‘𝑈) → {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
9 eqid 2621 . . . . . . 7 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
103ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 eqid 2621 . . . . . . 7 (·𝑖𝑈) = (·𝑖𝑈)
12 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑉)
13 hlhilocv.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑋𝑉)
1514sselda 3583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑉)
161, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15hlhilipval 36718 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦))
17 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
18 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝐿))
201, 4, 17, 2, 18, 3, 19hlhils0 36714 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
2120eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
2221ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
2316, 22eqeq12d 2636 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
2423ralbidva 2979 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑉) → (∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
2524rabbidva 3176 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
268, 25eqtr3d 2657 . 2 (𝜑 → {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
2713, 6sseqtrd 3620 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
28 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29 eqid 2621 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
30 hlhilocv.o . . . 4 𝑂 = (ocv‘𝑈)
3128, 11, 18, 29, 30ocvval 19930 . . 3 (𝑋 ⊆ (Base‘𝑈) → (𝑂𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
3227, 31syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
33 hlhilocv.n . . 3 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
341, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13hdmapoc 36700 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
3526, 32, 343eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (𝑂𝑋) = (𝑁𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   ⊆ wss 3555  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  ·𝑖cip 15867  0gc0g 16021  ocvcocv 19923  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DVecHcdvh 35844  ocHcoch 36113  HDMapchdma 36559  HLHilchlh 36701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-ocv 19926  df-lsatoms 33740  df-lshyp 33741  df-lcv 33783  df-lfl 33822  df-lkr 33850  df-ldual 33888  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tgrp 35508  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-dveca 35768  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905  df-dic 35939  df-dih 35995  df-doch 36114  df-djh 36161  df-lcdual 36353  df-mapd 36391  df-hvmap 36523  df-hdmap1 36560  df-hdmap 36561  df-hlhil 36702 This theorem is referenced by:  hlhillcs  36727  hlhilhillem  36729
 Copyright terms: Public domain W3C validator