MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblneg 23614
Description: The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnval.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblneg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23579 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcnval.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65renegd 13993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
76breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
87, 6ifbieq1d 4142 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0))
98mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)))
105iblcn 23610 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
111, 10mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1211simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
135recld 13978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1413iblre 23605 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
1512, 14mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
1615simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
179, 16eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
186negeqd 10313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = --(ℜ‘𝐵))
1913recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
2019negnegd 10421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘𝐵))
2118, 20eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘𝐵))
2221breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)))
2322, 21ifbieq1d 4142 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0))
2423mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)))
2515simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
2624, 25eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
275negcld 10417 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
2827recld 13978 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) ∈ ℝ)
2928iblre 23605 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
3017, 26, 29mpbir2and 977 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
315imnegd 13994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
3231breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)))
3332, 31ifbieq1d 4142 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0))
3433mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)))
3511simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
365imcld 13979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
3736iblre 23605 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
3835, 37mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
3938simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4034, 39eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4131negeqd 10313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = --(ℑ‘𝐵))
4236recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4342negnegd 10421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℑ‘𝐵) = (ℑ‘𝐵))
4441, 43eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = (ℑ‘𝐵))
4544breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)))
4645, 44ifbieq1d 4142 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0))
4746mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)))
4838simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4947, 48eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
5027imcld 13979 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) ∈ ℝ)
5150iblre 23605 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
5240, 49, 51mpbir2and 977 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
5327iblcn 23610 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)))
5430, 52, 53mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  0cc0 9974  cle 10113  -cneg 10305  cre 13881  cim 13882  MblFncmbf 23428  𝐿1cibl 23431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-0p 23482
This theorem is referenced by:  itgneg  23615  iblsub  23633  itgsub  23637  iblsubnc  33601  itgsubnc  33602
  Copyright terms: Public domain W3C validator