Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem3 22530
 Description: Lemma for icccmp 22531. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
3 ssrab2 3671 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
42, 3eqsstri 3619 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5 icccmp.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 icccmp.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12194 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
94, 8syl5ss 3599 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
10 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
11 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
12 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
13 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
14 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
1510, 11, 12, 2, 5, 6, 13, 14, 1icccmplem1 22528 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1615simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
17 ne0i 3902 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1915simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
20 breq2 4622 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝐵 → (𝑦𝑣𝑦𝐵))
2120ralbidv 2985 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑣 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
2221rspcev 3300 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
236, 19, 22syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
24 suprcl 10928 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
259, 18, 23, 24syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26 suprub 10929 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
279, 18, 23, 16, 26syl31anc 1326 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
28 suprleub 10934 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
299, 18, 23, 6, 28syl31anc 1326 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
3019, 29mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
31 elicc2 12177 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
325, 6, 31syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
3325, 27, 30, 32mpbir3and 1243 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
341, 33sseldd 3589 . . 3 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈)
35 eluni2 4411 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3634, 35sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3714sselda 3588 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐽)
3812rexmet 22497 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
39 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4012, 39tgioo 22502 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
4110, 40eqtri 2648 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4241mopni2 22203 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
4338, 42mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
4443ex 450 . . . . 5 (𝑢𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
4537, 44syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
465ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
476ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4813ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴𝐵)
4914ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈𝐽)
501ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
51 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑈)
52 simprl 793 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
53 simprr 795 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
54 eqid 2626 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
55 eqid 2626 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
5610, 11, 12, 2, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55icccmplem2 22529 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵𝑆)
5756rexlimdvaa 3030 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢𝐵𝑆))
5845, 57syld 47 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5958rexlimdva 3029 . 2 (𝜑 → (∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
6036, 59mpd 15 1 (𝜑𝐵𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896  ifcif 4063  𝒫 cpw 4135  ∪ cuni 4407   class class class wbr 4618   × cxp 5077  ran crn 5080   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  supcsup 8291  ℝcr 9880   + caddc 9884   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  ℝ+crp 11776  (,)cioo 12114  [,]cicc 12117  abscabs 13903   ↾t crest 15997  topGenctg 16014  ∞Metcxmt 19645  ballcbl 19647  MetOpencmopn 19650 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-icc 12121  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618 This theorem is referenced by:  icccmp  22531
 Copyright terms: Public domain W3C validator