MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscauf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscauf 22831
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscau4.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iscau4.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
iscauf.7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
iscauf (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem iscauf
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 elfvdm 6115 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 9874 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4jctir 558 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 iscauf.7 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
7 iscau3.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 uzssz 11542 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
9 zsscn 11221 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3576 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
117, 10eqsstri 3597 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℂ
126, 11jctir 558 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
13 elpm2r 7739 . . . 4 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
145, 12, 13syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 527 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
161adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 iscau4.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
1817adantrr 748 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
196adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
20 simprl 789 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑍)
2119, 20ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2218, 21eqeltrrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵𝑋)
237uztrn2 11540 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
24 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2523, 24sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
26 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
276, 23, 26syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2825, 27eqeltrrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴𝑋)
29 xmetsym 21910 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3016, 22, 28, 29syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3130breq1d 4587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
32 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
3332eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
3433biimpar 500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
356, 23, 34syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3635, 28jca 552 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋))
3736biantrurd 527 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
38 df-3an 1032 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
3937, 38syl6bbr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4031, 39bitrd 266 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4140anassrs 677 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4241ralbidva 2967 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4342rexbidva 3030 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4443ralbidv 2968 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
45 iscau3.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
467, 1, 45, 24, 17iscau4 22830 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
4715, 44, 463bitr4rd 299 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  pm cpm 7723  cc 9791   < clt 9931  cz 11213  cuz 11522  +crp 11667  ∞Metcxmt 19501  Caucca 22804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-bl 19511  df-cau 22807
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  22842  causs  22849  caubl  22859  minvecolem3  26950  h2hcau  27054  geomcau  32549  caushft  32551  rrncmslem  32625
  Copyright terms: Public domain W3C validator