Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomennd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomennd 41066
Description: Sufficient condition to prove that 𝑂 is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomennd.x (𝜑𝑋𝑉)
isomennd.o (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
isomennd.o0 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
isomennd.le ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑥) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
isomennd.sa ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
isomennd (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑎,𝑛,𝑥   𝑦,𝑂,𝑥   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑛,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isomennd
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomennd.o . . . . 5 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
3 fdm 6089 . . . . . . 7 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
43feq2d 6069 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
52, 4mpbird 247 . . . . 5 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
7 unipw 4948 . . . . . . 7 𝒫 𝑋 = 𝑋
87pweqi 4195 . . . . . 6 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋)
101, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1110unieqd 4478 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1211pweqd 4196 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
139, 12, 103eqtr4rd 2696 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂)
14 isomennd.o0 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
156, 13, 14jca31 556 . . 3 (𝜑 → ((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0))
16 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → 𝜑)
17 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
1812, 9eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
2017, 19eleqtrd 2732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
21 elpwi 4201 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥𝑋)
2322adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → 𝑥𝑋)
24 elpwi 4201 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑥𝑦𝑥)
2524adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥) → 𝑦𝑥)
2625adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → 𝑦𝑥)
27 isomennd.le . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑥) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
2816, 23, 26, 27syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
2928ralrimivva 3000 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
30 0le0 11148 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → 0 ≤ 0)
32 unieq 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
33 uni0 4497 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ = ∅
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ∅ = ∅)
3532, 34eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
3635fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑂 𝑥) = (𝑂‘∅))
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) = (𝑂‘∅))
3814adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂‘∅) = 0)
3937, 38eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) = 0)
40 reseq2 5423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑂𝑥) = (𝑂 ↾ ∅))
41 res0 5432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ↾ ∅) = ∅
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑂 ↾ ∅) = ∅)
4340, 42eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑂𝑥) = ∅)
4443fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑂𝑥)) = (Σ^‘∅))
45 sge00 40911 . . . . . . . . . . . 12 ^‘∅) = 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘∅) = 0)
4744, 46eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑂𝑥)) = 0)
4847adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑂𝑥)) = 0)
4939, 48breq12d 4698 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → ((𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)) ↔ 0 ≤ 0))
5031, 49mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
5150ad4ant14 1317 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
52 simpl 472 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω))
53 neqne 2831 . . . . . . . 8 𝑥 = ∅ → 𝑥 ≠ ∅)
5453adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
55 ssnnf1octb 39696 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥))
5655adantll 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥))
571ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
5814ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → (𝑂‘∅) = 0)
59 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6010pweqd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6259, 61eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
63 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑥 ⊆ 𝒫 𝑋)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑋)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑋)
66 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝜑)
67 isomennd.sa . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
6866, 67sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
6968adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
70 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → dom 𝑓 ⊆ ℕ)
71 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)
72 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ dom 𝑓𝑛 ∈ dom 𝑓))
73 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑓𝑚) = (𝑓𝑛))
7472, 73ifbieq1d 4142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑚), ∅) = if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑛), ∅))
7574cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑚), ∅)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑛), ∅))
7657, 58, 65, 69, 70, 71, 75isomenndlem 41065 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
7776ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
7877ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
7978exlimdv 1901 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
8056, 79mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
8152, 54, 80syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
8251, 81pm2.61dan 849 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
8382ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
8483ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
8515, 29, 84jca31 556 . 2 (𝜑 → ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))))
86 isomennd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
87 pwexg 4880 . . . . 5 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
8886, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
89 fex 6530 . . . 4 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑂 ∈ V)
901, 88, 89syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ V)
91 isome 41029 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))))
9290, 91syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))))
9385, 92mpbird 247 1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cres 5145  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  cle 10113  cn 11058  [,]cicc 12216  Σ^csumge0 40897  OutMeascome 41024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-sumge0 40898  df-ome 41025
This theorem is referenced by:  ovnome  41108
  Copyright terms: Public domain W3C validator