Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvscl 33841
Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsccl.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsccl.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsccl.t · = (.r𝐷)
lflsccl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflsccl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflsccl.g (𝜑𝐺𝐹)
lflsccl.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflvscl (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
3 eqidd 2622 . 2 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝑊))
4 lflsccl.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 = (Scalar‘𝑊))
6 eqidd 2622 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lflsccl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
87a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 = (Base‘𝐷))
9 eqidd 2622 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
10 lflsccl.t . . 3 · = (.r𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝐷))
12 lflsccl.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
1312a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (LFnl‘𝑊))
14 lflsccl.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
154lmodring 18792 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
177, 10ringcl 18482 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
18173expb 1263 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
1916, 18sylan 488 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
20 lflsccl.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
214, 7, 1, 12lflf 33827 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
2214, 20, 21syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
23 lflsccl.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐾)
24 fconst6g 6051 . . . 4 (𝑅𝐾 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉𝐾)
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉𝐾)
26 fvex 6158 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
271, 26eqeltri 2694 . . . 4 𝑉 ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
29 inidm 3800 . . 3 (𝑉𝑉) = 𝑉
3019, 22, 25, 28, 28, 29off 6865 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})):𝑉𝐾)
3114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
3220adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝐺𝐹)
33 simpr1 1065 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑟𝐾)
34 simpr2 1066 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
35 simpr3 1067 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
36 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
37 eqid 2621 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
38 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝐷) = (+g𝐷)
391, 36, 4, 37, 7, 38, 10, 12lfli 33825 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))
4031, 32, 33, 34, 35, 39syl113anc 1335 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))
4140oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅))
4216adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
434, 7, 1, 12lflcl 33828 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
4431, 32, 34, 43syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
457, 10ringcl 18482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → (𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾)
4642, 33, 44, 45syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾)
474, 7, 1, 12lflcl 33828 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐾)
4831, 32, 35, 47syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐾)
4923adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅𝐾)
507, 38, 10ringdir 18488 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐾𝑅𝐾)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
5142, 46, 48, 49, 50syl13anc 1325 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
527, 10ringass 18485 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑟𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑅𝐾)) → ((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
5342, 33, 44, 49, 52syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
5453oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
5541, 51, 543eqtrd 2659 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
561, 4, 37, 7lmodvscl 18801 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟𝐾𝑥𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
5731, 33, 34, 56syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
581, 36lmodvacl 18798 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5931, 57, 35, 58syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
60 ffn 6002 . . . . . 6 (𝐺:𝑉𝐾𝐺 Fn 𝑉)
6122, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
62 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)))
6328, 23, 61, 62ofc2 6874 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅))
6459, 63syldan 487 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅))
65 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
6628, 23, 61, 65ofc2 6874 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑅))
6734, 66syldan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑅))
6867oveq2d 6620 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥)) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
69 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
7028, 23, 61, 69ofc2 6874 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) · 𝑅))
7135, 70syldan 487 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) · 𝑅))
7268, 71oveq12d 6622 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g𝐷)((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
7355, 64, 723eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g𝐷)((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)))
742, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 30, 73, 14islfld 33826 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4148   × cxp 5072   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  LFnlclfn 33821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lfl 33822
This theorem is referenced by:  lkrsc  33861  lfl1dim  33885  ldualvscl  33903  ldualvsass  33905
  Copyright terms: Public domain W3C validator