Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvg 29984
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvg (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 nnuz 11720 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 11405 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5 rge0ssre 12277 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 fss 6054 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
74, 5, 6sylancl 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑙))
12 oveq1 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 + 1) = (𝑙 + 1))
1312fveq2d 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1411, 13breq12d 4664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1514cbvralv 3169 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1610, 15sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1716r19.21bi 2931 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1817adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
19 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
20 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑙))
2120breq1d 4661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
2221cbvralv 3169 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2322rexbii 3039 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2419, 23sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
252, 3, 8, 18, 24climsup 14394 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
26 nnex 11023 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
27 fex 6487 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
284, 26, 27sylancl 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
30 ltso 10115 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3130supex 8366 . . . . . . . . . 10 sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
33 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
34 breldmg 5328 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3529, 32, 33, 34syl3anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3625, 35syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
371, 36mtand 691 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
38 ralnex 2991 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3937, 38sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
40 simplr 792 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
417adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4241ffvelrnda 6357 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4340, 42ltnled 10181 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4443rexbidva 3047 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
45 rexnal 2994 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4644, 45syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4746ralbidva 2984 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4839, 47mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4948r19.21bi 2931 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
5040ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5142ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5241ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
53 uznnssnn 11732 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
5453ad3antlr 767 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
55 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
5654, 55sseldd 3602 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5752, 56ffvelrnd 6358 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
58 simplr 792 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
59 simp-4l 806 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
60 simpllr 799 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
61 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
627ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
63 fzssnn 12382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
6463ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
65 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
6664, 65sseldd 3602 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
6762, 66ffvelrnd 6358 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
68 simplll 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
69 fzssnn 12382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
7069ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
71 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
7270, 71sseldd 3602 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
7368, 72, 17syl2anc 693 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
7461, 67, 73monoord 12826 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7559, 60, 55, 74syl21anc 1324 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7650, 51, 57, 58, 75ltletrd 10194 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
7776ralrimiva 2965 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
7877ex 450 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7978reximdva 3016 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
8049, 79mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
8180ralrimiva 2965 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  wrex 2912  Vcvv 3198  wss 3572   class class class wbr 4651  dom cdm 5112  ran crn 5113  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  supcsup 8343  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936  +∞cpnf 10068   < clt 10071  cle 10072  cmin 10263  cn 11017  cuz 11684  [,)cico 12174  ...cfz 12323  cli 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-ico 12178  df-fz 12324  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213
This theorem is referenced by:  lmdvglim  29985  esumcvg  30133
  Copyright terms: Public domain W3C validator