Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvg 29984
 Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvg (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 nnuz 11720 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 11405 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5 rge0ssre 12277 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 fss 6054 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
74, 5, 6sylancl 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑙))
12 oveq1 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 + 1) = (𝑙 + 1))
1312fveq2d 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1411, 13breq12d 4664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1514cbvralv 3169 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1610, 15sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1716r19.21bi 2931 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1817adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
19 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
20 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑙))
2120breq1d 4661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
2221cbvralv 3169 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2322rexbii 3039 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2419, 23sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
252, 3, 8, 18, 24climsup 14394 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
26 nnex 11023 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
27 fex 6487 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
284, 26, 27sylancl 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
30 ltso 10115 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3130supex 8366 . . . . . . . . . 10 sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
33 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
34 breldmg 5328 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3529, 32, 33, 34syl3anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3625, 35syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
371, 36mtand 691 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
38 ralnex 2991 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3937, 38sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
40 simplr 792 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
417adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4241ffvelrnda 6357 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4340, 42ltnled 10181 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4443rexbidva 3047 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
45 rexnal 2994 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4644, 45syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4746ralbidva 2984 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4839, 47mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4948r19.21bi 2931 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
5040ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5142ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5241ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
53 uznnssnn 11732 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
5453ad3antlr 767 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
55 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
5654, 55sseldd 3602 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5752, 56ffvelrnd 6358 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
58 simplr 792 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
59 simp-4l 806 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
60 simpllr 799 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
61 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
627ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
63 fzssnn 12382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
6463ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
65 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
6664, 65sseldd 3602 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
6762, 66ffvelrnd 6358 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
68 simplll 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
69 fzssnn 12382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
7069ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
71 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
7270, 71sseldd 3602 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
7368, 72, 17syl2anc 693 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
7461, 67, 73monoord 12826 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7559, 60, 55, 74syl21anc 1324 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7650, 51, 57, 58, 75ltletrd 10194 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
7776ralrimiva 2965 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
7877ex 450 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7978reximdva 3016 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
8049, 79mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
8180ralrimiva 2965 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  ∃wrex 2912  Vcvv 3198   ⊆ wss 3572   class class class wbr 4651  dom cdm 5112  ran crn 5113  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  supcsup 8343  ℝcr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936  +∞cpnf 10068   < clt 10071   ≤ cle 10072   − cmin 10263  ℕcn 11017  ℤ≥cuz 11684  [,)cico 12174  ...cfz 12323   ⇝ cli 14209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-ico 12178  df-fz 12324  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213 This theorem is referenced by:  lmdvglim  29985  esumcvg  30133
 Copyright terms: Public domain W3C validator