HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlelchi 28106
Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ConFn
Assertion
Ref Expression
nlelchi (null‘𝑇) ∈ C

Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
21nlelshi 28105 . 2 (null‘𝑇) ∈ S
3 vex 3171 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
43hlimveci 27233 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
54adantl 480 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6 eqid 2605 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldhaus 22326 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
87a1i 11 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
10 eqid 2605 . . . . . . . . . . 11 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
119, 10hhims 27215 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
12 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
139, 11, 12hhlm 27242 . . . . . . . . 9 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
14 resss 5325 . . . . . . . . 9 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1513, 14eqsstri 3593 . . . . . . . 8 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1615ssbri 4617 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1716adantl 480 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
18 nlelch.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ ConFn
1910, 12, 6hhcnf 27950 . . . . . . . 8 ConFn = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2018, 19eleqtri 2681 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2217, 21lmcn 20857 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇𝑥))
231lnfnfi 28086 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
24 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
2524adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26 elnlfn2 27974 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
2723, 25, 26sylancr 693 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
28 fvco3 6166 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
2928adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
30 c0ex 9886 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
3130fvconst2 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3231adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3327, 29, 323eqtr4d 2649 . . . . . . . 8 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
3433ralrimiva 2944 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35 ffn 5940 . . . . . . . . . 10 (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
3623, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑇 Fn ℋ
37 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
382shssii 27256 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39 fss 5951 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41 fnfco 5963 . . . . . . . . 9 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4236, 40, 41sylancr 693 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4330fconst 5985 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44 ffn 5940 . . . . . . . . 9 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℕ × {0}) Fn ℕ
46 eqfnfv 6200 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4742, 45, 46sylancl 692 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4834, 47mpbird 245 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) = (ℕ × {0}))
496cnfldtopon 22324 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51 0cnd 9885 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52 1zzd 11237 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53 nnuz 11551 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5453lmconst 20813 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5550, 51, 52, 54syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5648, 55eqbrtrd 4595 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
578, 22, 56lmmo 20932 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 0)
58 elnlfn 27973 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0)))
5923, 58ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0))
605, 57, 59sylanbrc 694 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
6160gen2 1712 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62 isch2 27266 . 2 ((null‘𝑇) ∈ C ↔ ((null‘𝑇) ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
632, 61, 62mpbir2an 956 1 (null‘𝑇) ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  wss 3535  {csn 4120  cop 4126   class class class wbr 4573   × cxp 5022  cres 5026  ccom 5028   Fn wfn 5781  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑚 cmap 7717  cc 9786  0cc0 9788  1c1 9789  cn 10863  cz 11206  TopOpenctopn 15847  MetOpencmopn 19499  fldccnfld 19509  TopOnctopon 20456   Cn ccn 20776  𝑡clm 20778  Hauscha 20860  chil 26962   + cva 26963   · csm 26964  normcno 26966   cmv 26968  𝑣 chli 26970   S csh 26971   C cch 26972  nullcnl 26995  ConFnccnfn 26996  LinFnclf 26997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868  ax-hilex 27042  ax-hfvadd 27043  ax-hvcom 27044  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvmulass 27050  ax-hvdistr1 27051  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053  ax-hfi 27122  ax-his1 27125  ax-his2 27126  ax-his3 27127  ax-his4 27128
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-icc 12005  df-fz 12149  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-rest 15848  df-topn 15849  df-topgen 15869  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-lm 20781  df-haus 20867  df-xms 21872  df-ms 21873  df-grpo 26493  df-gid 26494  df-ginv 26495  df-gdiv 26496  df-ablo 26548  df-vc 26563  df-nv 26611  df-va 26614  df-ba 26615  df-sm 26616  df-0v 26617  df-vs 26618  df-nmcv 26619  df-ims 26620  df-hnorm 27011  df-hvsub 27014  df-hlim 27015  df-sh 27250  df-ch 27264  df-nlfn 27891  df-cnfn 27892  df-lnfn 27893
This theorem is referenced by:  riesz3i  28107
  Copyright terms: Public domain W3C validator