Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8d 36591
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8d.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8d.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8b.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8d.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.xt (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.wt (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.ut (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.vw (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8d (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝑤,,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8d
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . . 4 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 mapdh8b.eg . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
17 mapdh8d.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐷)
18 mapdh8d.mn . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19 mapdh8d.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8d.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120eldifad 3572 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
221, 2, 14dvhlvec 35917 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2319eldifad 3572 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
24 mapdh8d.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2524eldifad 3572 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑤𝑉)
26 mapdh8d.xn . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
273, 6, 22, 23, 21, 25, 26lspindpi 19072 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤})))
2827simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2910, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 21, 28mapdhcl 36535 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
3016, 29eqeltrrd 2699 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐷)
3130adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐺𝐷)
3210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 30, 28mapdheq 36536 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
3316, 32mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3433simpld 475 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
3534adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
36 mapdh8d.vw . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 36, 24, 26mapdh8a 36583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
3837adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
3920adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4024adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41 mapdh8d.wt . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4241adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43 mapdh8d.xt . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4443adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4536adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
46 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
4726adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 31, 35, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 47mapdh8b 36588 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
4917adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹𝐷)
5018adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
5219adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53 mapdh8d.yz . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
5453adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
55 mapdh8d.ut . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
5655adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 49, 50, 51, 52, 39, 44, 54, 40, 42, 56, 45, 46, 47mapdh8c 36589 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
5848, 57eqtr3d 2657 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
5914adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6017adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹𝐷)
6118adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
6216adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
6319adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6420adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6553adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
6643adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
67 simpr 477 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67mapdh8a 36583 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
6958, 68pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  cdif 3557  ifcif 4064  {csn 4155  {cpr 4157  cotp 4163  cmpt 4683  cfv 5857  crio 6575  (class class class)co 6615  1st c1st 7126  2nd c2nd 7127  Basecbs 15800  0gc0g 16040  -gcsg 17364  LSpanclspn 18911  HLchlt 34156  LHypclh 34789  DVecHcdvh 35886  LCDualclcd 36394  mapdcmpd 36432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-riotaBAD 33758
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-undef 7359  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-0g 16042  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-oppg 17716  df-lsm 17991  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043  df-lsatoms 33782  df-lshyp 33783  df-lcv 33825  df-lfl 33864  df-lkr 33892  df-ldual 33930  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965  df-tgrp 35550  df-tendo 35562  df-edring 35564  df-dveca 35810  df-disoa 35837  df-dvech 35887  df-dib 35947  df-dic 35981  df-dih 36037  df-doch 36156  df-djh 36203  df-lcdual 36395  df-mapd 36433
This theorem is referenced by:  mapdh8e  36592
  Copyright terms: Public domain W3C validator