MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsre 22564
Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsre ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3907 . . 3 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝑆)
2 metxmet 22049 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 22559 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
52, 4sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
65adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7 ffn 6002 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹 Fn 𝑋)
95adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
10 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
119, 10ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞))
12 elxrge0 12223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
1312simplbi 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
15 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆𝑋)
1716sselda 3583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑋)
1817adantrr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
19 metcl 22047 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
2015, 18, 10, 19syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
2112simprbi 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
2211, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
233metdsle 22563 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
242, 23sylanl1 681 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
25 xrrege0 11948 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑤) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2614, 20, 22, 24, 25syl22anc 1324 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2726anassrs 679 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2827ralrimiva 2960 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → ∀𝑤𝑋 (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
29 ffnfv 6343 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑤𝑋 (𝐹𝑤) ∈ ℝ))
308, 28, 29sylanbrc 697 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
3130ex 450 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑧𝑆𝐹:𝑋⟶ℝ))
3231exlimdv 1858 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑧 𝑧𝑆𝐹:𝑋⟶ℝ))
331, 32syl5bi 232 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
34333impia 1258 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  infcinf 8291  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  [,]cicc 12120  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-ec 7689  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660
This theorem is referenced by:  metdscn2  22568  lebnumlem1  22668  lebnumlem3  22670
  Copyright terms: Public domain W3C validator