MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsf 22741
Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsf ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 815 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝑋)
3 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑆𝑋)
43sselda 3677 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑋)
5 xmetcl 22226 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
61, 2, 4, 5syl3anc 1407 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
7 eqid 2692 . . . . . 6 (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))
86, 7fmptd 6468 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
9 frn 6134 . . . . 5 ((𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ* → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
11 infxrcl 12245 . . . 4 (ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 xmetge0 22239 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
141, 2, 4, 13syl3anc 1407 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
1514ralrimiva 3036 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
16 ovex 6761 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
1716rgenw 2994 . . . . . 6 𝑦𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
18 breq2 4732 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐷𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
197, 18ralrnmpt 6451 . . . . . 6 (∀𝑦𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
2017, 19ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
2115, 20sylibr 224 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧)
22 0xr 10167 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
23 infxrgelb 12247 . . . . 5 ((ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
2410, 22, 23sylancl 697 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
2521, 24mpbird 247 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
26 elxrge0 12363 . . 3 (inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
2712, 25, 26sylanbrc 701 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
28 metdscn.f . 2 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2927, 28fmptd 6468 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  wral 2982  Vcvv 3272  wss 3648   class class class wbr 4728  cmpt 4805  ran crn 5187  wf 5965  cfv 5969  (class class class)co 6733  infcinf 8431  0cc0 10017  +∞cpnf 10152  *cxr 10154   < clt 10155  cle 10156  [,]cicc 12260  ∞Metcxmt 19822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-inf 8433  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-2 11160  df-rp 11915  df-xneg 12028  df-xadd 12029  df-xmul 12030  df-icc 12264  df-xmet 19830
This theorem is referenced by:  metds0  22743  metdstri  22744  metdsre  22746  metdseq0  22747  metdscnlem  22748  metdscn  22749  metnrmlem1a  22751  metnrmlem1  22752  lebnumlem1  22850
  Copyright terms: Public domain W3C validator