Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn2 22600
 Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
metdscn2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . 7 (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsdsre 22553 . . . . . 6 ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
31xrsxmet 22552 . . . . . . 7 (dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*)
4 ressxr 10043 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
5 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) = (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
7 eqid 2621 . . . . . . . 8 (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
85, 6, 7metrest 22269 . . . . . . 7 (((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))))
93, 4, 8mp2an 707 . . . . . 6 ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
102, 9tgioo 22539 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)
11 metdscn2.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1211tgioo2 22546 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
1310, 12eqtr3i 2645 . . . 4 ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (𝐾t ℝ)
1413oveq2i 6626 . . 3 (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn (𝐾t ℝ))
1511cnfldtop 22527 . . . 4 𝐾 ∈ Top
16 cnrest2r 21031 . . . 4 (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (𝐽 Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
1814, 17eqsstri 3620 . 2 (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
19 metxmet 22079 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 metdscn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21 metdscn.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2220, 21, 1, 6metdscn 22599 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
2319, 22sylan 488 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
24233adant3 1079 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
2520metdsre 22596 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
26 frn 6020 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
276mopntopon 22184 . . . . . 6 ((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) → (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*))
283, 27ax-mp 5 . . . . 5 (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*)
29 cnrest2 21030 . . . . 5 (((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
3028, 4, 29mp3an13 1412 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
3125, 26, 303syl 18 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
3224, 31mpbid 222 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)))
3318, 32sseldi 3586 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897   ↦ cmpt 4683   × cxp 5082  ran crn 5085   ↾ cres 5086  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  infcinf 8307  ℝcr 9895  ℝ*cxr 10033   < clt 10034  (,)cioo 12133  distcds 15890   ↾t crest 16021  TopOpenctopn 16022  topGenctg 16038  ℝ*𝑠cxrs 16100  ∞Metcxmt 19671  Metcme 19672  MetOpencmopn 19676  ℂfldccnfld 19686  Topctop 20638  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-ec 7704  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-icc 12140  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-xrs 16102  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-xms 22065  df-ms 22066 This theorem is referenced by:  lebnumlem2  22701
 Copyright terms: Public domain W3C validator