MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem3 22743
Description: Lemma for lebnum 22744. By the previous lemmas, 𝐹 is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum 𝑟. Then setting 𝑑 = 𝑟 / #(𝑈), since for each 𝑢𝑈 we have ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 iff 𝑑𝑑(𝑥, 𝑋𝑢), if ¬ ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 for all 𝑢 then summing over 𝑢 yields Σ𝑢𝑈𝑑(𝑥, 𝑋𝑢) = 𝐹(𝑥) < Σ𝑢𝑈𝑑 = 𝑟, in contradiction to the assumption that 𝑟 is the minimum of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹   𝜑,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)   𝐽(𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11821 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 3915 . . 3 + ≠ ∅
3 ral0 4067 . . . . 5 𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢
4 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
54raleqdv 3139 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
63, 5mpbiri 248 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
76ralrimivw 2964 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
8 r19.2z 4051 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
92, 7, 8sylancr 694 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
10 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
12 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
13 lebnum.s . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
14 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 22741 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
1918adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
20 frn 6040 . . . . 5 (𝐹:𝑋⟶ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
22 eqid 2620 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
23 lebnumlem2.k . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2412adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
2510, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23lebnumlem2 22742 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
27 metxmet 22120 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2810mopnuni 22227 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3029neeq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅))
3130biimpa 501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ≠ ∅)
3222, 23, 24, 26, 31evth2 22740 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
3329adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 = 𝐽)
34 raleq 3133 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝐽 → (∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3534rexeqbi1dv 3142 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐽 → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3732, 36mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
38 ffn 6032 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ+𝐹 Fn 𝑋)
39 breq1 4647 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4039ralbidv 2983 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4140rexrn 6347 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4219, 38, 413syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4337, 42mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
44 ssrexv 3659 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ℝ+ → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
4521, 43, 44sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
46 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4714ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝑈)
48 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
4947, 48eqnetrrd 2859 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
50 unieq 4435 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
51 uni0 4456 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ∅
5250, 51syl6eq 2670 . . . . . . . . . 10 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
5352necon3i 2823 . . . . . . . . 9 ( 𝑈 ≠ ∅ → 𝑈 ≠ ∅)
5449, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
5515ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ Fin)
56 hashnncl 13140 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Fin → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5854, 57mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (#‘𝑈) ∈ ℕ)
5958nnrpd 11855 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (#‘𝑈) ∈ ℝ+)
6046, 59rpdivcld 11874 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+)
61 ralnex 2989 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
6255adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ∈ Fin)
6354adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ≠ ∅)
64 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑥𝑋)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑥𝑋)
66 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6766metdsval 22631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6911ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
7069ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
71 difssd 3730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
72 elssuni 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑈𝑘 𝑈)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘 𝑈)
7447ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 = 𝑈)
7573, 74sseqtr4d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
76 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
7776notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
7816, 77syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
7978necon2ad 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
8079ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
8180imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
82 pssdifn0 3935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8375, 81, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8466metdsre 22637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8570, 71, 83, 84syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8685, 65ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ∈ ℝ)
8768, 86eqeltrrd 2700 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8860ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+)
8988rpred 11857 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ)
90 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
91 sseq2 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9291notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑘 → (¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9392rspccva 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9490, 93sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9570, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9688rpxrd 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ*)
9766metdsge 22633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ*) → ((𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅))
9895, 71, 65, 96, 97syl31anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅))
99 blssm 22204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
10095, 65, 96, 99syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
101 difin0ss 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅ → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑋 → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
102100, 101syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10398, 102sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10494, 103mtod 189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥))
10586, 89ltnled 10169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (#‘𝑈)) ↔ ¬ (𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥)))
106104, 105mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (#‘𝑈)))
10768, 106eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < (𝑟 / (#‘𝑈)))
10862, 63, 87, 89, 107fsumlt 14513 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)))
109 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑧) = (𝑥𝐷𝑧))
110109mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
111110rneqd 5342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
112111infeq1d 8368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
113112sumeq2sdv 14416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
114 sumex 14399 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ V
115113, 17, 114fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11664, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11760adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+)
118117rpcnd 11859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℂ)
119 fsumconst 14503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)) = ((#‘𝑈) · (𝑟 / (#‘𝑈))))
12062, 118, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)) = ((#‘𝑈) · (𝑟 / (#‘𝑈))))
121 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
122121rpcnd 11859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℂ)
12358adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (#‘𝑈) ∈ ℕ)
124123nncnd 11021 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (#‘𝑈) ∈ ℂ)
125123nnne0d 11050 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (#‘𝑈) ≠ 0)
126122, 124, 125divcan2d 10788 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((#‘𝑈) · (𝑟 / (#‘𝑈))) = 𝑟)
127120, 126eqtr2d 2655 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 = Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)))
128108, 116, 1273brtr4d 4676 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) < 𝑟)
12919ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
130129, 64ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
131130rpred 11857 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
132121rpred 11857 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ)
133131, 132ltnled 10169 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((𝐹𝑥) < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
134128, 133mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
135134expr 642 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
13661, 135syl5bir 233 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
137136con4d 114 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
138137ralimdva 2959 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
139 oveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))))
140139sseq1d 3624 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
141140rexbidv 3048 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
142141ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
143142rspcev 3304 . . . . 5 (((𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
14460, 138, 143syl6an 567 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
145144rexlimdva 3027 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
14645, 145mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
1479, 146pm2.61dane 2878 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  cdif 3564  cin 3566  wss 3567  c0 3907   cuni 4427   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ran crn 5105   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  infcinf 8332  cc 9919  cr 9920  1c1 9922   · cmul 9926  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060   / cdiv 10669  cn 11005  +crp 11817  (,)cioo 12160  #chash 13100  Σcsu 14397  topGenctg 16079  ∞Metcxmt 19712  Metcme 19713  ballcbl 19714  MetOpencmopn 19717   Cn ccn 21009  Compccmp 21170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108
This theorem is referenced by:  lebnum  22744
  Copyright terms: Public domain W3C validator