MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumlem3 22497
Description: Lemma for lebnum 22498. By the previous lemmas, 𝐹 is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum 𝑟. Then setting 𝑑 = 𝑟 / #(𝑈), since for each 𝑢𝑈 we have ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 iff 𝑑𝑑(𝑥, 𝑋𝑢), if ¬ ball(𝑥, 𝑑) ⊆ 𝑢 for all 𝑢 then summing over 𝑢 yields Σ𝑢𝑈𝑑(𝑥, 𝑋𝑢) = 𝐹(𝑥) < Σ𝑢𝑈𝑑 = 𝑟, in contradiction to the assumption that 𝑟 is the minimum of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
lebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
lebnumlem1.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
lebnumlem1.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lebnumlem1.f 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
lebnumlem2.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹   𝜑,𝑑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑑,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)   𝐽(𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11664 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 3877 . . 3 + ≠ ∅
3 ral0 4023 . . . . 5 𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢
4 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
54raleqdv 3116 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
63, 5mpbiri 246 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
76ralrimivw 2945 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
8 r19.2z 4007 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
92, 7, 8sylancr 693 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
10 lebnum.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11 lebnum.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
12 lebnum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
13 lebnum.s . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
14 lebnum.u . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝑈)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 22495 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ+)
1918adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
20 frn 5948 . . . . 5 (𝐹:𝑋⟶ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ran 𝐹 ⊆ ℝ+)
22 eqid 2605 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
23 lebnumlem2.k . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2412adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
2510, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23lebnumlem2 22496 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2625adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
27 metxmet 21886 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2810mopnuni 21993 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3029neeq1d 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅))
3130biimpa 499 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐽 ≠ ∅)
3222, 23, 24, 26, 31evth2 22494 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
3329adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 = 𝐽)
34 raleq 3110 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝐽 → (∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3534rexeqbi1dv 3119 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐽 → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤 𝐽𝑥 𝐽(𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
3732, 36mpbird 245 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥))
38 ffn 5940 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ+𝐹 Fn 𝑋)
39 breq1 4576 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4039ralbidv 2964 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝐹𝑤) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4140rexrn 6250 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4219, 38, 413syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑤𝑋𝑥𝑋 (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑥)))
4337, 42mpbird 245 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
44 ssrexv 3625 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ℝ+ → (∃𝑟 ∈ ran 𝐹𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
4521, 43, 44sylc 62 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
46 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4714ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝑈)
48 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
4947, 48eqnetrrd 2845 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
50 unieq 4370 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
51 uni0 4391 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ∅
5250, 51syl6eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑈 = ∅ → 𝑈 = ∅)
5352necon3i 2809 . . . . . . . . 9 ( 𝑈 ≠ ∅ → 𝑈 ≠ ∅)
5449, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ≠ ∅)
5515ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ Fin)
56 hashnncl 12966 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Fin → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
5854, 57mpbird 245 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (#‘𝑈) ∈ ℕ)
5958nnrpd 11698 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (#‘𝑈) ∈ ℝ+)
6046, 59rpdivcld 11717 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+)
61 ralnex 2970 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
6255adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ∈ Fin)
6354adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ≠ ∅)
64 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑥𝑋)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑥𝑋)
66 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6766metdsval 22385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
6911ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
7069ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
71 difssd 3695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋)
72 elssuni 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑈𝑘 𝑈)
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘 𝑈)
7447ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑋 = 𝑈)
7573, 74sseqtr4d 3600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
76 eleq1 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑋 → (𝑘𝑈𝑋𝑈))
7776notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑋 → (¬ 𝑘𝑈 ↔ ¬ 𝑋𝑈))
7816, 77syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑘 = 𝑋 → ¬ 𝑘𝑈))
7978necon2ad 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
8079ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑘𝑈𝑘𝑋))
8180imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝑘𝑋)
82 pssdifn0 3893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑋𝑘𝑋) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8375, 81, 82syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ ∅)
8466metdsre 22391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑘) ≠ ∅) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8570, 71, 83, 84syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )):𝑋⟶ℝ)
8685, 65ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ∈ ℝ)
8768, 86eqeltrrd 2684 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8860ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+)
8988rpred 11700 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ)
90 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)
91 sseq2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9291notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑘 → (¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
9392rspccva 3276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9490, 93sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘)
9570, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9688rpxrd 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ*)
9766metdsge 22387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑘) ⊆ 𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ*) → ((𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅))
9895, 71, 65, 96, 97syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) ↔ ((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅))
99 blssm 21970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
10095, 65, 96, 99syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑋)
101 difin0ss 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅ → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑋 → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
102100, 101syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑋𝑘) ∩ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈)))) = ∅ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10398, 102sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑘))
10494, 103mtod 187 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ¬ (𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥))
10586, 89ltnled 10031 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → (((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (#‘𝑈)) ↔ ¬ (𝑟 / (#‘𝑈)) ≤ ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥)))
106104, 105mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑦𝑋 ↦ inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))‘𝑥) < (𝑟 / (#‘𝑈)))
10768, 106eqbrtrrd 4597 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘𝑈) → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < (𝑟 / (#‘𝑈)))
10862, 63, 87, 89, 107fsumlt 14315 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) < Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)))
109 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑧) = (𝑥𝐷𝑧))
110109mpteq2dv 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
111110rneqd 5257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)) = ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)))
112111infeq1d 8239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
113112sumeq2sdv 14224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
114 sumex 14208 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ) ∈ V
115113, 17, 114fvmpt 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11664, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘𝑈 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋𝑘) ↦ (𝑥𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
11760adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+)
118117rpcnd 11702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℂ)
119 fsumconst 14306 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)) = ((#‘𝑈) · (𝑟 / (#‘𝑈))))
12062, 118, 119syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)) = ((#‘𝑈) · (𝑟 / (#‘𝑈))))
121 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
122121rpcnd 11702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℂ)
12358adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (#‘𝑈) ∈ ℕ)
124123nncnd 10879 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (#‘𝑈) ∈ ℂ)
125123nnne0d 10908 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (#‘𝑈) ≠ 0)
126122, 124, 125divcan2d 10648 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((#‘𝑈) · (𝑟 / (#‘𝑈))) = 𝑟)
127120, 126eqtr2d 2640 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 = Σ𝑘𝑈 (𝑟 / (#‘𝑈)))
128108, 116, 1273brtr4d 4605 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) < 𝑟)
12919ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ+)
130129, 64ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
131130rpred 11700 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
132121rpred 11700 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → 𝑟 ∈ ℝ)
133131, 132ltnled 10031 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ((𝐹𝑥) < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
134128, 133mpbid 220 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢)) → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥))
135134expr 640 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑢𝑈 ¬ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
13661, 135syl5bir 231 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢 → ¬ 𝑟 ≤ (𝐹𝑥)))
137136con4d 112 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
138137ralimdva 2940 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
139 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))))
140139sseq1d 3590 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
141140rexbidv 3029 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
142141ralbidv 2964 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑟 / (#‘𝑈)) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢))
143142rspcev 3277 . . . . 5 (((𝑟 / (#‘𝑈)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / (#‘𝑈))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
14460, 138, 143syl6an 565 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
145144rexlimdva 3008 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 𝑟 ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
14645, 145mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
1479, 146pm2.61dane 2864 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  cdif 3532  cin 3534  wss 3535  c0 3869   cuni 4362   class class class wbr 4573  cmpt 4633  ran crn 5025   Fn wfn 5781  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  Fincfn 7814  infcinf 8203  cc 9786  cr 9787  1c1 9789   · cmul 9793  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927   / cdiv 10529  cn 10863  +crp 11660  (,)cioo 11998  #chash 12930  Σcsu 14206  topGenctg 15863  ∞Metcxmt 19494  Metcme 19495  ballcbl 19496  MetOpencmopn 19499   Cn ccn 20776  Compccmp 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-ec 7604  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-cmp 20938  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874
This theorem is referenced by:  lebnum  22498
  Copyright terms: Public domain W3C validator