Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulcncff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcncff 38653
Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncff.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
mulcncff.g (𝜑𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
mulcncff (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))

Proof of Theorem mulcncff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncff.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
2 cncfrss 22425 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3 cnex 9772 . . . . 5 ℂ ∈ V
43ssex 4629 . . . 4 (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
51, 2, 43syl 18 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
6 cncff 22427 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
87ffvelrnda 6151 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9 mulcncff.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
10 cncff 22427 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
1211ffvelrnda 6151 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
137feqmptd 6043 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
1411feqmptd 6043 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
155, 8, 12, 13, 14offval2 6688 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
1613, 1eqeltrrd 2593 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
1714, 9eqeltrrd 2593 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
1816, 17mulcncf 22898 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
1915, 18eqeltrd 2592 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1938  Vcvv 3077  wss 3444  cmpt 4541  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  𝑓 cof 6669  cc 9689   · cmul 9696  cnccncf 22410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cncf 22412
This theorem is referenced by:  dvmulcncf  38715  dvdivcncf  38717
  Copyright terms: Public domain W3C validator