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Theorem cosknegpi 38552
Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 ore negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2 2z 11238 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3 simpl 471 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 divides 14765 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
52, 3, 4sylancr 693 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
61, 5mpbid 220 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7 zcn 11211 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8 negcl 10128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9 2cn 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
10 picn 23928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
119, 10mulcli 9897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
138, 12mulcld 9912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
1413addid2d 10084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-𝑛 · (2 · π)))
15 2cnd 10936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
178, 15, 16mulassd 9915 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-𝑛 · (2 · π)))
1817eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) = ((-𝑛 · 2) · π))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
2019, 15mulneg1d 10329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
2120oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-(𝑛 · 2) · π))
2214, 18, 213eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2423adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2519, 15mulcld 9912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26 mulneg12 10315 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2725, 16, 26syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2928adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30 oveq1 6530 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3130adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3224, 29, 313eqtrrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + (-𝑛 · (2 · π))))
3332fveq2d 6088 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
34333adant1 1071 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
35 0cnd 9885 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36 znegcl 11241 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37 cosper 23951 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
3835, 36, 37syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39383ad2ant2 1075 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40 iftrue 4037 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
41 cos0 14661 . . . . . . . . 9 (cos‘0) = 1
4240, 41syl6reqr 2658 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43423ad2ant1 1074 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2643 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45443exp 1255 . . . . 5 (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4645adantl 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4746rexlimdv 3007 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49 odd2np1 14845 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
5049biimpa 499 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51 oveq1 6530 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
5251eqcomd 2611 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5352adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5415, 19mulcld 9912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55 1cnd 9908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56 negpicn 23931 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
5854, 55, 57adddird 9917 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61 mulneg12 10315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6254, 16, 61syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6362eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-(2 · 𝑛) · π))
6415, 19mulneg2d 10330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
6515, 8mulcomd 9913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = (-𝑛 · 2))
6664, 65eqtr3d 2641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = (-𝑛 · 2))
6766oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((-𝑛 · 2) · π))
6863, 67, 173eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-𝑛 · (2 · π)))
6957mulid2d 9910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
7068, 69oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ((-𝑛 · (2 · π)) + -π))
7113, 57addcomd 10085 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · (2 · π)) + -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7270, 71eqtrd 2639 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7473adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7553, 60, 743eqtrd 2643 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
76753adant1 1071 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7776fveq2d 6088 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
78773adant1r 1310 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
79 cosper 23951 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
8056, 36, 79sylancr 693 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
81803ad2ant2 1075 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
82 iffalse 4040 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
83 cosnegpi 38550 . . . . . . . 8 (cos‘-π) = -1
8482, 83syl6reqr 2658 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8584adantl 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86853ad2ant1 1074 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2643 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3010 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 827 1 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  ifcif 4031   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  -cneg 10114  2c2 10913  cz 11206  cosccos 14576  πcpi 14578  cdvds 14763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-ef 14579  df-sin 14581  df-cos 14582  df-pi 14584  df-dvds 14764  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-lp 20688  df-perf 20689  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416  df-limc 23349  df-dv 23350
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