MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmdvr 22675
Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmdvr.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmdvr.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nmdvr.d / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
nmdvr (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simprl 811 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐴𝑋)
3 nrgring 22668 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
43ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
5 simprr 813 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐵𝑈)
6 nmdvr.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2760 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
8 nmdvr.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑅)
96, 7, 8ringinvcl 18876 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑈) → ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
104, 5, 9syl2anc 696 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
11 nmdvr.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
12 eqid 2760 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
138, 11, 12nmmul 22669 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1477 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))))
15 simplr 809 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
1611, 6, 7nminvr 22674 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁𝐵)))
171, 15, 5, 16syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁𝐵)))
1817oveq2d 6829 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
1914, 18eqtrd 2794 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
20 nmdvr.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
218, 12, 6, 7, 20dvrval 18885 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑈) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵)))
2221adantl 473 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵)))
2322fveq2d 6356 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))))
24 nrgngp 22667 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2524ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
268, 11nmcl 22621 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2725, 2, 26syl2anc 696 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2827recnd 10260 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
298, 6unitss 18860 . . . . . 6 𝑈𝑋
3029, 5sseldi 3742 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐵𝑋)
318, 11nmcl 22621 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
3225, 30, 31syl2anc 696 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
3332recnd 10260 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ∈ ℂ)
3411, 6unitnmn0 22673 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
35343expa 1112 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
3635adantrl 754 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
3728, 33, 36divrecd 10996 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
3819, 23, 373eqtr4d 2804 1 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   / cdiv 10876  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  Ringcrg 18747  Unitcui 18839  invrcinvr 18871  /rcdvr 18882  NzRingcnzr 19459  normcnm 22582  NrmGrpcngp 22583  NrmRingcnrg 22585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ico 12374  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-topgen 16306  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-abv 19019  df-nzr 19460  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-xms 22326  df-ms 22327  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591
This theorem is referenced by:  qqhnm  30343
  Copyright terms: Public domain W3C validator