HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpyc 27188
Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpyc ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (norm𝐴) ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵))))

Proof of Theorem normpyc
StepHypRef Expression
1 normcl 27167 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
21resqcld 12847 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴)↑2) ∈ ℝ)
32recnd 9919 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴)↑2) ∈ ℂ)
43addid1d 10082 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (((norm𝐴)↑2) + 0) = ((norm𝐴)↑2))
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm𝐴)↑2) + 0) = ((norm𝐴)↑2))
6 normcl 27167 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) ∈ ℝ)
76sqge0d 12848 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ ((norm𝐵)↑2))
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((norm𝐵)↑2))
96resqcld 12847 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → ((norm𝐵)↑2) ∈ ℝ)
10 0re 9891 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
11 leadd2 10341 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ ((norm𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm𝐵)↑2) ↔ (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
1210, 11mp3an1 1402 . . . . . . . 8 ((((norm𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm𝐵)↑2) ↔ (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
139, 2, 12syl2anr 493 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((norm𝐵)↑2) ↔ (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
148, 13mpbid 220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
155, 14eqbrtrrd 4596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((norm𝐴)↑2) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
1615adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((norm𝐴)↑2) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
17 normpyth 27187 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
1817imp 443 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
1916, 18breqtrrd 4600 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((norm𝐴)↑2) ≤ ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
2019ex 448 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm𝐴)↑2) ≤ ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
211adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm𝐴) ∈ ℝ)
22 hvaddcl 27054 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
23 normcl 27167 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
25 normge0 27168 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝐴))
2625adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (norm𝐴))
27 normge0 27168 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵)))
2822, 27syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵)))
2921, 24, 26, 28le2sqd 12856 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((norm𝐴) ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ ((norm𝐴)↑2) ≤ ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
3020, 29sylibrd 247 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (norm𝐴) ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  cr 9786  0cc0 9787   + caddc 9790  cle 9926  2c2 10912  cexp 12672  chil 26961   + cva 26962   ·ih csp 26964  normcno 26965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-hfvadd 27042  ax-hv0cl 27045  ax-hvmul0 27052  ax-hfi 27121  ax-his1 27124  ax-his2 27125  ax-his3 27126  ax-his4 27127
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-sup 8203  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-rp 11660  df-seq 12614  df-exp 12673  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-hnorm 27010
This theorem is referenced by:  pjnormi  27765
  Copyright terms: Public domain W3C validator