Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvin 20220
 Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o = (ocv‘𝑊)
ocvin.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
ocvin.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvin ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) = { 0 })

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
3 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9 = (ocv‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ocvi 20215 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
76ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆)) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
87adantl 473 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
10 ocvin.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
111, 10lssel 19140 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐿𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1211ad2ant2lr 801 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13 ocvin.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 20185 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
159, 12, 14syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑥(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 0 ))
168, 15mpbid 222 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆))) → 𝑥 = 0 )
1716ex 449 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → ((𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆)) → 𝑥 = 0 ))
18 elin 3939 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ↔ (𝑥𝑆𝑥 ∈ ( 𝑆)))
19 velsn 4337 . . . 4 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
2017, 18, 193imtr4g 285 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ ( 𝑆)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
2120ssrdv 3750 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ⊆ { 0 })
22 phllmod 20177 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2322adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → 𝑊 ∈ LMod)
241, 10lssss 19139 . . . . 5 (𝑆𝐿𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
251, 5, 10ocvlss 20218 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)
2624, 25sylan2 492 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)
2710lssincl 19167 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝐿 ∧ ( 𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿)
2822, 27syl3an1 1167 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿 ∧ ( 𝑆) ∈ 𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿)
2926, 28mpd3an3 1574 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿)
3013, 10lss0ss 19151 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∩ ( 𝑆)) ∈ 𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( 𝑆)))
3123, 29, 30syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ ( 𝑆)))
3221, 31eqssd 3761 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝐿) → (𝑆 ∩ ( 𝑆)) = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146  ·𝑖cip 16148  0gc0g 16302  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134  PreHilcphl 20171  ocvcocv 20206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lmhm 19224  df-lvec 19305  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-phl 20173  df-ocv 20209 This theorem is referenced by:  ocv1  20225  pjdm2  20257  pjff  20258  pjf2  20260  pjfo  20261  obselocv  20274
 Copyright terms: Public domain W3C validator