Theorem odngen 18702

Description: A cyclic subgroup of size (𝑂‘𝐴) has (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odngen	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	mptpreima 6092	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}
3	2	fveq2i 6673	. 2 ⊢ (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}})
4		odhash.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		odhash.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		odhash.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	4, 5, 6, 7	odf1o2 18698	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9		f1ocnv 6627	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)))
10		f1of1 6614	. . . 4 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
12		ssrab2 4056	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13		fvex 6683	. . . . . 6 ⊢ (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
14	13	rabex 5235	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ∈ V
15	14	f1imaen 8571	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})
16		hasheni 13709	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
18	11, 12, 17	sylancl 588	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
19		simpl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simpl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21		elfzoelz 13039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
22	21	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	4, 5, 7	cycsubg2cl 18354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25		fveqeq2 6679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
26	25	elrab3 3681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
28		simpl3 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
29	4, 6, 5	odmulgeq 18684	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
30	19, 20, 22, 28, 29	syl31anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
31	27, 30	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
32	31	rabbidva 3478	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1})
33	32	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
34		dfphi2 16111	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
35	34	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
36	33, 35	eqtr4d 2859	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))
37	3, 18, 36	3eqtr3a 2880	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ⊆ wss 3936  {csn 4567   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  –1-1→wf1 6352  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ≈ cen 8506  0cc0 10537  1c1 10538  ℕcn 11638  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691   gcd cgcd 15843  ϕcphi 16101  Basecbs 16483  mrClscmrc 16854  Grpcgrp 18103  ._gcmg 18224  SubGrpcsubg 18273  odcod 18652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-phi 16103  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-od 18656

This theorem is referenced by:  proot1hash  39820