MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odngen 17913
Description: A cyclic subgroup of size (𝑂𝐴) has (ϕ‘(𝑂𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odngen ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴))
21mptpreima 5587 . . 3 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}
32fveq2i 6151 . 2 (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}})
4 odhash.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2621 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 odhash.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
7 odhash.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
84, 5, 6, 7odf1o2 17909 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9 f1ocnv 6106 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)))
10 f1of1 6093 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
118, 9, 103syl 18 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
12 ssrab2 3666 . . 3 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13 fvex 6158 . . . . . 6 (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
1413rabex 4773 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ∈ V
1514f1imaen 7962 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})
16 hasheni 13076 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} → (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1715, 16syl 17 . . 3 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1811, 12, 17sylancl 693 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
19 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpl2 1063 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
21 elfzoelz 12411 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
234, 5, 7cycsubg2cl 17553 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(.g𝐺)𝐴) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)))
2625eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(.g𝐺)𝐴) → ((𝑂𝑥) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2726elrab3 3347 . . . . . . 7 ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
29 simpl3 1064 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
304, 6, 5odmulgeq 17895 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3119, 20, 22, 29, 30syl31anc 1326 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3228, 31bitrd 268 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3332rabbidva 3176 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1})
3433fveq2d 6152 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
35 dfphi2 15403 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
36353ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
3734, 36eqtr4d 2658 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
383, 18, 373eqtr3a 2679 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  cima 5077  1-1wf1 5844  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cen 7896  0cc0 9880  1c1 9881  cn 10964  cz 11321  ..^cfzo 12406  #chash 13057   gcd cgcd 15140  ϕcphi 15393  Basecbs 15781  mrClscmrc 16164  Grpcgrp 17343  .gcmg 17461  SubGrpcsubg 17509  odcod 17865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-phi 15395  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-od 17869
This theorem is referenced by:  proot1hash  37256
  Copyright terms: Public domain W3C validator