MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem2 26462
Description: Lemma for opphl 26468. Lemma 9.3 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem1.b (𝜑𝐵𝑃)
opphllem1.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem1.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem1.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m (𝜑𝑀𝐷)
opphllem1.n (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
opphllem1.x (𝜑𝐴𝑅)
opphllem1.y (𝜑𝐵𝑅)
opphllem2.z (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
Assertion
Ref Expression
opphllem2 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem2
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpg.o . . 3 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5 opphl.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 opphl.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 opphl.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 opphllem1.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
12 opphllem1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
14 opphllem1.s . . . 4 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
15 eqid 2821 . . . . 5 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16 opphllem1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐷)
171, 5, 3, 8, 6, 16tglnpt 26263 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑃)
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀𝑃)
191, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13mircl 26375 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵) ∈ 𝑃)
2016adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀𝐷)
21 opphllem1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝐷)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑅𝐷)
231, 2, 3, 5, 15, 9, 14, 7, 20, 22mirln 26390 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝑅) ∈ 𝐷)
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
25 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
2624, 25eqeltrd 2913 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐷)
278ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2812ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
291, 5, 3, 8, 6, 21tglnpt 26263 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅𝑃)
3029ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝑃)
31 opphllem1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑃)
3231ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
33 opphllem1.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑅)
3433ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑅)
3534necomd 3071 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐵)
36 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵))
371, 3, 5, 27, 30, 28, 32, 35, 36btwnlng1 26333 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
381, 3, 5, 27, 28, 30, 32, 34, 37lncom 26336 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
396ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
40 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐷)
4121ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐷)
421, 3, 5, 27, 28, 30, 34, 34, 39, 40, 41tglinethru 26350 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
4338, 42eleqtrrd 2916 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐷)
4426, 43pm2.61dane 3104 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
45 opphllem1.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
461, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45oppne1 26455 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
4746ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
4844, 47pm2.65da 813 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ 𝐵𝐷)
499adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5018adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝑀𝑃)
5113adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐵𝑃)
521, 2, 3, 5, 15, 49, 50, 14, 51mirmir 26376 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘(𝑆𝐵)) = 𝐵)
537adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
5420adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝑀𝐷)
55 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆𝐵) ∈ 𝐷)
561, 2, 3, 5, 15, 49, 14, 53, 54, 55mirln 26390 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘(𝑆𝐵)) ∈ 𝐷)
5752, 56eqeltrrd 2914 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐵𝐷)
5848, 57mtand 812 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷)
591, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13mirbtwn 26372 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀 ∈ ((𝑆𝐵)𝐼𝐵))
601, 2, 3, 4, 19, 13, 20, 58, 48, 59islnoppd 26454 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵)𝑂𝐵)
61 eqidd 2822 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵))
62 nelne2 3115 . . . . . 6 (((𝑆𝑅) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆𝑅) ≠ (𝑆𝐵))
6323, 58, 62syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝑅) ≠ (𝑆𝐵))
6463necomd 3071 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵) ≠ (𝑆𝑅))
651, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45oppne2 26456 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
6665adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ 𝐶𝐷)
67 nelne2 3115 . . . . . 6 (((𝑆𝑅) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → (𝑆𝑅) ≠ 𝐶)
6823, 66, 67syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝑅) ≠ 𝐶)
6968necomd 3071 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶 ≠ (𝑆𝑅))
70 opphllem1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
7170eqcomd 2827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐶) = 𝐴)
721, 2, 3, 5, 15, 8, 17, 14, 10, 71mircom 26377 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = 𝐶)
7372adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐴) = 𝐶)
7429adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑅𝑃)
7531adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
76 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵))
771, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 74, 75, 13, 76mirbtwni 26385 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐴) ∈ ((𝑆𝑅)𝐼(𝑆𝐵)))
7873, 77eqeltrrd 2914 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝑆𝑅)𝐼(𝑆𝐵)))
791, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 14, 19, 11, 13, 23, 60, 20, 61, 64, 69, 78opphllem1 26461 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶𝑂𝐵)
801, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 79oppcom 26458 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐵𝑂𝐶)
816adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
828adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8331adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
8412adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
8510adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
8621adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝑅𝐷)
8745adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
8816adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝑀𝐷)
8970adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴 = (𝑆𝐶))
90 opphllem1.x . . . 4 (𝜑𝐴𝑅)
9190adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴𝑅)
9233adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵𝑅)
93 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
941, 2, 3, 4, 5, 81, 82, 14, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93opphllem1 26461 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵𝑂𝐶)
95 opphllem2.z . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
9680, 94, 95mpjaodan 952 1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wrex 3139  cdif 3932   class class class wbr 5058  {copab 5120  ran crn 5550  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  distcds 16564  TarskiGcstrkg 26144  Itvcitv 26150  LineGclng 26151  pInvGcmir 26366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13913  df-s1 13940  df-s2 14200  df-s3 14201  df-trkgc 26162  df-trkgb 26163  df-trkgcb 26164  df-trkg 26167  df-cgrg 26225  df-mir 26367
This theorem is referenced by:  opphllem4  26464  opphl  26468
  Copyright terms: Public domain W3C validator