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Theorem clwwlkf 26088
Description: Lemma 1 for clwwlkbij 26093: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlkbij.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
Assertion
Ref Expression
clwwlkf ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐷⟶((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐸   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑡,𝐷   𝑡,𝐸,𝑤   𝑡,𝑁   𝑡,𝑉   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤,𝑡)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem clwwlkf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘𝑡))
2 fveq1 6087 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
31, 2eqeq12d 2624 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → (( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)))
4 clwwlkbij.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
53, 4elrab2 3332 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)))
6 nnnn0 11146 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 iswwlkn 25978 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl3an3 1352 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
9 iswwlk 25977 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1093adant3 1073 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1110anbi1d 736 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
128, 11bitrd 266 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
13 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ Word 𝑉)
14 peano2nn0 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
156, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
16 nnre 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1716lep1d 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
18 elfz2nn0 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
196, 15, 17, 18syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
21 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0...(#‘𝑡)) = (0...(𝑁 + 1)))
2221eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2423adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2520, 24mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
2613, 25jca 552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡))))
27 swrd0len 13220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
2928ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
30293ad2antl2 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
3130com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
32313ad2ant3 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
3332imp 443 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
35 swrdcl 13217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ Word 𝑉 → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
36353ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
3736ad2antrl 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
3837ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
39 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
4039oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
41 nncn 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4341, 42pncand 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4443oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
47 nnz 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5016lem1d 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
51 eluz2 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
53 fzoss2 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
56 ssralv 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
58 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑡 ∈ Word 𝑉)
5919adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6022adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
6261ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
6354sseld 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 swrd0fv 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑡𝑖))
6766eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6947ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 elfzom1elp1fzo 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 swrd0fv 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7776ralbidva 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7877biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7978ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8079com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8157, 80syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8246, 81sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8382ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
8483com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
8584com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
8685imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
87863adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8887imp 443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8988com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
90893ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9190imp 443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9291ad2antrl 759 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
93 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9493oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9594adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9695raleqdv 3120 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9792, 96mpbird 245 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
98 simprl2 1099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Word 𝑉)
9917ancli 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
10047peano2zd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
101 fznn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10399, 102mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
1041033ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
106 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (1...(#‘𝑡)) = (1...(𝑁 + 1)))
107106eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
108107adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
109108adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
110105, 109mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)))
11198, 110jca 552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))))
112111adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))))
113 swrd0fvlsw 13241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))) → ( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
115 swrd0fv0 13238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
116111, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
117116adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
118114, 117preq12d 4219 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)})
119 eqcom 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) ↔ (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
120119biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
121120adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
122 lsw 13150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
1231223ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
124123ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
125124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
12639adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
127433ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
128126, 127sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
129128adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
130129fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
131121, 125, 1303eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = (𝑡𝑁))
132131preq2d 4218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
13339, 43sylan9eq 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
134133oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
135134raleqdv 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
136 fzo0end 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
137 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡𝑖) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
138 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
139138fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)))
140137, 139preq12d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝑁 − 1) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))})
141140eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
142141rspcva 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
143136, 142sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
14441, 42npcand 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
145144fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑡𝑁))
146145preq2d 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
147146eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
148147biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
149148adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
150143, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)
151150ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
152151adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
153135, 152sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
154153ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)))
155154com3r 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)))
1561553ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)))
157156imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
158157com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
1591583ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
160159imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)
161160adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)
162132, 161eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} ∈ ran 𝐸)
163118, 162eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
164163adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
16538, 97, 1643jca 1234 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
166 simpl 471 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
167165, 166jca 552 . . . . . . . 8 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
16834, 167mpancom 699 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
169168exp31 627 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
17012, 169sylbid 228 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
171170imp32 447 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
172 isclwwlkn 26063 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
1736, 172syl3an3 1352 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
174 isclwwlk 26062 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
1751743adant3 1073 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
176175anbi1d 736 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
177173, 176bitrd 266 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
178177adantr 479 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
179171, 178mpbird 245 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
1805, 179sylan2b 490 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑡𝐷) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
181 clwwlkbij.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
182180, 181fmptd 6277 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐷⟶((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  {crab 2899  wss 3539  c0 3873  {cpr 4126  cop 4130   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092   lastS clsw 13093   substr csubstr 13096   WWalks cwwlk 25971   WWalksN cwwlkn 25972   ClWWalks cclwwlk 26042   ClWWalksN cclwwlkn 26043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-lsw 13101  df-substr 13104  df-wwlk 25973  df-wwlkn 25974  df-clwwlk 26045  df-clwwlkn 26046
This theorem is referenced by:  clwwlkf1  26090  clwwlkfo  26091
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