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Theorem clwwlkf 27176
Description: Lemma 1 for clwwlkf1o 27180: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlkf1o.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
Assertion
Ref Expression
clwwlkf (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤,𝑡)

Proof of Theorem clwwlkf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → (lastS‘𝑤) = (lastS‘𝑡))
2 fveq1 6351 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
31, 2eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)))
4 clwwlkf1o.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
53, 4elrab2 3507 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)))
6 nnnn0 11491 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 iswwlksn 26941 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
9 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
119, 10iswwlks 26939 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1312anbi1d 743 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
148, 13bitrd 268 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
15 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16 peano2nn0 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918lep1d 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
20 elfz2nn0 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
216, 17, 19, 20syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2221adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
23 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0...(♯‘𝑡)) = (0...(𝑁 + 1)))
2423eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2722, 26mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)))
2815, 27jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡))))
29 swrd0len 13621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡))) → (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3130ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
32313ad2antl2 1202 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
3332impcom 445 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3433adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
35 swrdcl 13618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
36353ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3736ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3837ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
39 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
4039oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0..^((♯‘𝑡) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
41 nncn 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4341, 42pncand 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4443oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^((♯‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47 nnz 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5018lem1d 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
51 eluz2 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
53 fzoss2 12690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
56 ssralv 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
58 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5921adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6024adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)))
6261ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)))
6354sseld 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 swrd0fv 13639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑡𝑖))
6766eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6947ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 elfzom1elp1fzo 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 swrd0fv 13639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7776ralbidva 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7877biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7978ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8079com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8157, 80syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8246, 81sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8382ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8584com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8685imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
87863adant1 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8887imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8988impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9089ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
91 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9291oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9493raleqdv 3283 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9590, 94mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
96 simprl2 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9719ancli 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
9847peano2zd 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
99 fznn 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10197, 100mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
103 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (1...(♯‘𝑡)) = (1...(𝑁 + 1)))
104103eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
106105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
107102, 106mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)))
10896, 107jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))))
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))))
110 swrd0fvlsw 13643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))) → (lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
112 swrd0fv0 13640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
115111, 114preq12d 4420 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)})
116 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) ↔ (𝑡‘0) = (lastS‘𝑡))
117116biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) → (𝑡‘0) = (lastS‘𝑡))
118117adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = (lastS‘𝑡))
119 lsw 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
1201193ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
121120ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
12339adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
124123, 43sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
125124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
126125fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
127118, 122, 1263eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = (𝑡𝑁))
128127preq2d 4419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
12939, 43sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
130129oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^((♯‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
131130raleqdv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
132 fzo0end 12754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
133 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡𝑖) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
134 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
135134fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)))
136133, 135preq12d 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = (𝑁 − 1) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))})
137136eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
138137rspcva 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
139132, 138sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
14041, 42npcand 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
141140fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑡𝑁))
142141preq2d 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
143142eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
144143biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
146139, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
147146ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
148147adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
149131, 148sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
150149ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
151150com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
1521513ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
153152imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
154153impcom 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
156128, 155eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
157115, 156eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
158157adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
15938, 95, 1583jca 1123 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
160 simpl 474 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
161159, 160jca 555 . . . . . . . 8 (((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
16234, 161mpancom 706 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
163162exp31 631 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
16414, 163sylbid 230 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
165164imp32 448 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
1669, 10isclwwlknx 27164 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
167166adantr 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
168165, 167mpbird 247 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
1695, 168sylan2b 493 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡𝐷) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
170 clwwlkf1o.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
171169, 170fmptd 6548 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  wss 3715  c0 4058  {cpr 4323  cop 4327   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478   substr csubstr 13481  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  WWalkscwwlks 26928   WWalksN cwwlksn 26929   ClWWalksN cclwwlkn 27147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-substr 13489  df-wwlks 26933  df-wwlksn 26934  df-clwwlk 27105  df-clwwlkn 27149
This theorem is referenced by:  clwwlkf1  27178  clwwlkfo  27179
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