Theorem recgt1 11131

Description: The reciprocal of a positive number greater than 1 is less than 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recgt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < 1))

Proof of Theorem recgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10251	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 10762	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		ltrec 11117	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < (1 / 1)))
4	1, 2, 3	mpanl12 720	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < (1 / 1)))
5		1div1e1 10929	. . 3 ⊢ (1 / 1) = 1
6	5	breq2i 4812	. 2 ⊢ ((1 / 𝐴) < (1 / 1) ↔ (1 / 𝐴) < 1)
7	4, 6	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (1 / 𝐴) < 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286   / cdiv 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897

This theorem is referenced by:  recgt1i  11132  recreclt  11134  recgt1d  12099  fldiv4p1lem1div2  12850  0.999...  14831  0.999...OLD  14832  rpnnen2lem3  15164  rpnnen2lem9  15170  flodddiv4  15359  log2cnv  24891  rplogsumlem2  25394  rpvmasumlem  25396  pntibndlem1  25498